aPtCfU - Chapter1 Solutions

1. \(f(1)+f(2)+\cdots+f(1999)\) 为奇数当且仅当 \(2001, 2003\) 一共被加了奇数次. 那么枚举它们一共被选了 \(1, 3, 5,...,1999\) 次, 最终答案为

\[\sum_{i=0}^{999}{1999\choose 2i+1}2^{2i+1}2^{1999-(2i+1)}=2^{1999}\sum_{i=0}^{999}{1999\choose 2i+1}=2^{1999}2^{1998}=2^{3997} \]

2. 枚举个位, 分析所有情况.

3. 就是组合数, 答案为 \(\sum_{i=0}^7{7\choose i}=2^7\).

4. 由 \(n(A)+n(B)+n(C)=2^{101}+2^{|C|}=2^{|A\cup B\cup C|}\) 知 \(|C|=101,|A\cup B\cup C|=102\). 则 \(|A\cap B\cap C|\) 最小为 \(98\).

5. \(11!\times 2^{12}\).

6. 转化题意, 答案为 \([1000,2000)\) 中每一位 \(<5\) 的整数个数, 即 \(5^3\).

7. 设 \(A\) 盒中球的个数为 \(a\), \(B\) 为 \(b\), 则有 \(a+b=25,50|ab\). 只有 \((20,5),(15,10)\) 符合题意. 而这两种情况答案均为 \(1/25\).

8. \(9!\times {10\choose 4}4!\).

9. 转化题意, 等价于对于每一个数, 不能同时出现在 \(A,B,C\) 三个集合中, 即出现在一个或两个中, 最终答案为 \(6^{2003}\).

10. 对于一个首项 \(2^i\), 记其公比为 \(2^t\), 那么要保证 \(i+2t\le 2000 \Rightarrow t\le\lfloor (2000-i) / 2\rfloor\). 所以我们对 \(i\) 的奇偶性分别讨论, 答案即为

\[\sum_{p=1}^{1000}\left\lfloor\frac{2000-(2p-1)}{2}\right\rfloor+\sum_{p=1}^{1000}\left\lfloor\frac{2000-2p}{2}\right\rfloor=1000^2-1000=999000 \]

11. 参考的答案. 对于任意一个题中所述的三角剖分, 一定存在两个三角形满足它们恰有两条边在 \(n\) 边形上. 我们将这两个三角形在 \(n\) 边形的两条边相交的点分别记为 \(u,v\). 将从 \(u\) 到 \(v\) 顺时针的路径记为 \(P\), 逆时针的路径记为 \(Q\). 对于除上述两个三角形之外的其他三角形, 它们恰有一条边在 \(n\) 边形上, 而这条边要么在 \(P\) 上要么在 \(Q\) 上, 我们可以把这些三角形顺次排成一列, 标以它们在 \(n\) 边形上的边所属的路径, 即形如 \(PQPPQ...\) 的序列. 对于固定的 \(u,v\), 序列的个数就是三角剖分的个数. 对于一个固定的 \(u\), 共有 \(\sum_{k=0}^{n-4}{n-4\choose k}=2^{n-4}\) 种情况. 而每个 \(n\) 边形 \(u\) 有 \(n\) 种选择, 于是答案为 \(\dfrac{1}{2}n2^{n-4}=n2^{n-5}\).

12. 我们来计算五位数中能被 \(3\) 整除且不含数位 \(6\) 的个数. 万位有 \(8\) 种选择, 千百十位各有 \(9\) 种选择, 再考虑万千百十位之和模 \(3\) 的余数, 每种情况个位都只有 \(3\) 种选择, 于是个数为 \(8\times 9^3\times 3=17496\), 最终答案为 \(12504\).