矩阵scaling预处理介绍 - 指南

文章目录

• • • 一、是否需要 scaling？
    • 二、常见的 scaling 手段
    • • 1. **对角 scaling（Diagonal Scaling）**
      • • (a) **行 scaling（Row Scaling）**
        • (b) **列 scaling（Column Scaling）**
        • (c) **平衡 scaling（Equilibration / Symmetric Scaling）**
      • 2. **基于物理的 scaling（Physical Scaling）**
      • 3. **基于预条件子的隐式 scaling**
      • 4. **最大元素 scaling（Max Scaling）**
    • 三、实际建议
    • 四、相关工具与库
    • 总结

在采用迭代法（如共轭梯度法、GMRES、BiCGSTAB等）求解稀疏线性方程组 $ Ax = b $ 时，对矩阵进行适当的 scaling（缩放）通常是推荐的，甚至在某些情况下是必要的。这是因为：

• 条件数（condition number）过大会导致迭代法收敛缓慢甚至不收敛。
• 矩阵元素量级差异大（如某些行或列的范数相差几个数量级）会破坏数值稳定性。
• 物理单位不一致（如不同变量单位不同）也会导致矩阵不平衡。

因此，改善矩阵的数值性质，降低条件数，提高迭代法的收敛速度和稳定性就是scaling 的目的。

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一、是否需要 scaling？

答案：视情况而定，但强烈建议在以下情况下进行 scaling：

1. 矩阵元素量级差异大（如有的元素是$10^{-6}$，有的是 $10^6$）；
2. 来自多物理场问题（如流体-结构耦合），不同变量单位差异大；
3. 迭代法收敛缓慢或震荡；
4. 预条件子效果不佳。

注意：即使启用了预条件子（preconditioner），scaling 仍可能有帮助，源于预条件子本身也可能受矩阵不平衡影响。

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二、常见的 scaling 方法

1. 对角 scaling（Diagonal Scaling）

最常用、计算代价最低的方法。经过左乘和/或右乘对角矩阵，使矩阵的行或列范数趋于一致。就是这

(a) 行 scaling（Row Scaling）

目标：使每行的范数（如 2-范数或 ∞-范数）接近 1。

令 $ D_r $ 为对角矩阵，其中
$$(D_r{)}_{ii}=\frac{1}{\Vert A_{i\ast }\Vert },\text{（如}\Vert A_{i\ast }{\Vert }_{\infty }\text{或}\Vert A_{i\ast }{\Vert }_2\text{）}$$
变换后矩阵为：
$$\tilde{A}=D_{r}A$$

(b) 列 scaling（Column Scaling）

目标：使每列的范数接近 1。

令 $ D_c $ 为对角矩阵，其中
$$(D_c{)}_{jj}=\frac{1}{\Vert A_{\ast j}\Vert }$$
变换后矩阵为：
$$\tilde{A}=A{D}_c$$

© 平衡 scaling（Equilibration / Symmetric Scaling）

目标：同时平衡行和列，使 $ \tilde{A} = D_r A D_c $，且 $ \tilde{A} $ 的行和列范数都接近 1。

常用算法：

• Rothberg-Gupta 算法（用于对称矩阵）
• MC64 算法（来自 HSL，用于非对称矩阵，基于最大权重匹配）
• 对数迭代平衡法：迭代调整对角缩放因子，使行和列范数趋于 1。

对称矩阵常使用对称 scaling：$ \tilde{A} = DAD $，其中 $ D $ 是对角正定矩阵。

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2. 基于物理的 scaling（Physical Scaling）

在建模阶段就进行变量或方程的无量纲化（nondimensionalization），例如：

• 将压力除以参考压力；
• 将速度除以声速；
• 时间除以特征时间。

这从源头上避免了量纲不一致的难题，是最“干净”的 scaling 方法。

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3. 基于预条件子的隐式 scaling

某些预条件子（如 Jacobi、SSOR、ILU）本身就具有一定的 scaling 效果，但不能替代显式 scaling。

例如，Jacobi 预条件子 $ M = \text{diag}(A) $ 在对角元量级差异大时效果差，此时先进行 scaling 再用预条件子更高效。

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4. 最大元素 scaling（Max Scaling）

将整个矩阵除以其最大绝对值元素：
$$\tilde{A}=\frac{A}{{\max }_{i,j}|A_{ij}|}$$
这种方法简单，但可能无法解除局部不平衡问题。

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三、实际建议

1. 优先使用对角平衡 scaling（如 MC64 或迭代平衡），尤其对于非对称或病态矩阵。
2. 对于对称矩阵，采用对称 scaling（$ DAD $）以保持对称性，利于共轭梯度法等。
3. scaling 后，右端项和解也需要相应变换：
   • 若 $ \tilde{A} = D_r A D_c $，则令 $ \tilde{x} = D_c^{-1} x$，$\tilde{b} = D_r b $
4. 多数现代求解器（如 PETSc、Trilinos、MATLAB）支持内置 scaling 选项。

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四、相关工具与库

工具/库	支持的 scaling 方式
PETSc	-pc_type jacobi -ksp_type cg -ksp_norm_type unpreconditioned -ksp_rtol 1e-6 -mat_diagonal_scale -mat_diagonal_scale_fix
MATLAB	equilibrate(A) 函数（R2019b+）
HSL	MC64（用于非对称矩阵的最优 scaling）
SuperLU	内置 row/col scaling 和 matching

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总结

问题	回答
是否需要 scaling？	推荐使用，尤其当矩阵不平衡或收敛慢时
常见方法	对角 scaling（行、列、平衡）、物理 scaling、最大元 scaling
最佳实践	使用平衡 scaling（如 MC64 或 equilibrate），保持对称性，配合预条件子
注意事项	scaling 后需相应调整右端项和解，避免破坏障碍物理意义

✅ 建议：在调用迭代求解器前，先尝试对矩阵进行平衡 scaling，往往能显著提升收敛性能。