对线性代数伴随矩阵的深入理解 - 教程

伴随矩阵的几何直观：缩放倍率为$\det (A{)}^{n-1}$的逆变换。

$A\cdot A^{\ast }=|A|E$最终得到的结果是将原像空间各基向量缩放了$\det (A)$倍，故空间总体上是被放大了$|A{|}^n$倍。

为什么是n-1次，这是因为A*A^*或A^*A=$\det (A)E$, 意味着A仅将基向量方向矫正回原空间但不矫正其缩放倍率，要实现这一目的，根据放阵行列式乘积性质$|A^{\ast }\cdot A|=|A^{\ast }|\cdot |A|=|\det (A)E|=\det (A{)}^n$,故$|A^{\ast }|=\frac{\det (A{)}^n}{\det (A)}=\det (A{)}^{n-1}$,$A^{\ast }\cdot A$对空间每个维度缩放$\det (A)$倍，共计缩放$\det (A{)}^n$倍

二维的例子

三维的例子

对上述示例的理解