2025年6月GESP（C++二级）： 数三角形 - 实践

2025年6月GESP（C++二级）： 数三角形

题目描述

直角三角形有两条直角边与一条斜边，设两条直角边的长度分别为 $a,b$，则直角三角形的面积为 $\frac{ab}{2}$。

请你计算当直角边长 $a,b$ 均取不超过 $n$ 的正整数时，有多少个不同的面积为整数的直角三角形。直角边长分别为 $a,b$ 和 $a^{\prime },b^{\prime }$ 的两个直角三角形相同，当且仅当 $a=a^{\prime }$, $b=b^{\prime }$ 或者 $a=b^{\prime }$, $b=a^{\prime }$。

输入格式

一行，一个整数 $n$，表示直角边长的最大值。

输出格式

输出一行，一个整数，表示不同的直角三角形数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

3

输入输出样例 #2

输入 #2

5

输出 #2

9

说明/提示

对于所有测试点，保证 $1\le n\le 1000$。

以下是针对题目要求编写的C++代码，用于计算在给定直角边长最大值n的情况下，不同直角三角形的数量（要求面积为整数且避免重复计数）。代码使用双重循环遍历所有可能的直角边组合，并通过条件判断确保计数满足面积整数条件。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
  // 包含标准库头文件
  using namespace std;
  int n, cnt = 0;
  // 定义变量：n为直角边长的最大值，cnt用于计数符合条件的三角形数量
  int main(){
  cin >> n;
  // 读取输入的n值
  // 外层循环遍历第一条直角边a（从1到n）
  for(int a = 1; a <= n; a++) {
  // 内层循环遍历第二条直角边b（从a到n，确保a<=b避免重复计数）
  for(int b = a; b <= n; b++) {
  // 判断条件：两条直角边的乘积是否为偶数
  // 若a*b为偶数，则面积ab/2为整数
  if((a * b) % 2 == 0) {
  cnt++;
  // 满足条件，计数器加1
  }
  }
  }
  cout << cnt;
  // 输出符合条件的直角三角形数量
  return 0;
  // 程序正常结束
  }

功能分析

1. 问题理解：

   • 题目要求计算直角边长 a 和 b（均不超过整数 n）组成的直角三角形中，面积为整数的不同三角形数量。
   • 三角形被视为相同当且仅当 (a, b) 与 (a', b') 相同或对称（即 (a,b) 与 (b,a) 视为同一个三角形）。

2. 避免重复计数：

   • 通过内层循环变量 b 从 a 开始（而不是从1开始），确保只考虑 a <= b 的情况，从而避免对称重复。

3. 面积整数条件：

   • 直角三角形面积为 (a * b) / 2，要使其为整数，需满足 a * b 是偶数（即至少有一条直角边为偶数）。
   • 使用条件 (a * b) % 2 == 0 判断乘积是否为偶数。

4. 循环逻辑：

   • 外层循环：遍历所有可能的直角边 a（1 到 n）。
   • 内层循环：对于每个 a，遍历所有满足 b >= a 且 b <= n 的边 b。
   • 条件检查：对每组 (a, b) 检查面积是否为整数，满足则计数。

5. 复杂度：

   • 时间复杂度为 O(n²)，由于题目约束 n <= 1000，最大循环次数为 10⁶，在合理范围内。
   • 空间复杂度为 O(1)，仅使用固定数量的变量。

示例验证

• 输入 n=3：

  • 有效组合：(1,2), (2,2), (2,3)（面积分别为1、2、3，均为整数）。
  • 输出 cnt=3，符合样例。

• 输入 n=5：

  • 有效组合：(1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,4), (4,5)。
  • 输出 cnt=9，符合样例。

文末彩蛋：

点击查看老师的个人主页，学习csp信奥赛完整系列课程：
https://edu.csdn.net/lecturer/7901