浅谈杨辉三角【复习】

浅谈杨辉三角【复习】

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

顾定义思用途：二项式定理和排列数预处理

重点在于它的性质(说不定就无意间考了)：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

一：第n行的元素个数有n个；!

二：第n行的所有元素之和为2^n-1；!!!!

三： 第n行第m个数的值为C(n-1, m-1)，其中C为组合数；!!

四：（a+b)ⁿ 展开后的各项系数等于第n+1行的值；!!

五：第n行第m个数的奇偶判断，及C（n-1,m-1)的奇偶判断：（m-1)&(n-1)==(m-1)? 奇 ： 偶；!!!!!!

例题一：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6143

题目大意：

一个人的名字有名和姓，名和姓上各有n个字符位置，每个位置的字符从m个字符里面选择。问你有多少个人的名字其名和姓上没有相同的字符。(名或姓内部可以重复)

分析：

考虑第一组盒子，假设用了i种颜色的球，

那么设f(i)为用i种颜色的球（每种颜色必须用到）填n个盒子的种数，显然f(1)=1

则f(i)=iⁿ-c(1,i)×f(1)-c(2,i)×f(2)-....-c(i-1,i)×f(i-1)

code：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mods 1000000007
int n,m;
long long _power(long long a ,long long b)       //快速幂 
{
    long long res=1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
             res =res*a%mods;
        a =a*a%mods;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long C[2005][2005];
long long f[2005];       //用用i种颜色的球（每种颜色必须用到）填n个盒子的种数 
void calculateC()
{
	for(int i=1;i<=2005;i++)
    {
        C[0][i]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            C[j][i]=(C[j-1][i-1]+C[j][i-1])%mods;    //用动态规划求出组合数的转移方程 
        }
    }
}
void solve()
{
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		long long temp=0;
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			temp=(temp+(C[j][i]*f[j])%mods)%mods;
		}
		f[i]=(_power(i,n)-temp+mods)%mods;
	}
	int cnt;
	long long ans=0;
	int k=m<=n?m-1:n;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		cnt=(((C[i][m]*f[i])%mods)*_power(m-i,n))%mods;
		ans+=cnt;
		ans%=mods;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	calculateC();
	while(t--)
	{
		cin>>n>>m;
		solve();
	}
	return 0;
}

后续：这个题不简单

例题二

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6129

题目大意:给你一个数列a[1], a[2], a[3], a[4], ... , a[n]，操作一次后变为a[1], a[1] ^ a[2], a[1] ^ a[2] ^ a[3], ..., a[1] ^ a[2] ^ a[3] ^...a[n]，让你计算出m次操作后的数列(m<=1e9)

分析：

先不管那么多,看到1e9，打表找规律

code：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <set>
#include <string>
#include <map>
#include <climits>
#define PI acos(-1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int maxn = 2e5 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 1e8 + 5;
const ll inf = 1e15 + 5;
const db eps = 1e-6;
int a[maxn], b[maxn];

void solve() {
    int n, m;  scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(b, 0, sizeof(b));
    memset(a, 0, sizeof(a));
    for (int i=1; i<=n; i++)  scanf("%d", &a[i]);
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        int x=i+m-2, y=i-1;
        if ((x&y)==y) {
            for (int j=i; j<=n; j++)
                b[j]^=a[j-i+1];
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (i-1)  printf(" ");
        printf("%d", b[i]);
    }
    puts("");
}
int main() {
    int t = 1, cas = 1;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}