高等数学——无穷级数期末复习
高等数学B——无穷级数
常见级数的敛散性
等比级数
形如 \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\small=\normalsize aq^n\)的无穷级数，其中\(q\)为等比数列公比，其敛散性与\(q\)有关:
若\(q\small\geqslant\normalsize1\) 则等比级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\small=\normalsize aq^n\)是发散的
若\(q\small<\normalsize1\) 则等比级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\small=\normalsize aq^n\)是收敛的
p级数与调和级数
形如 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\small=\frac{\Large 1}{\Large n^p}\) 的级数叫做\(p\)级数其中,当\(p\small=1\)时\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\small=\frac{\Large 1}{\Large n}\)被称作调和级数。\(p\)级数的敛散性\(p\)有关:
\(p\small< \normalsize 1\)时,调和级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\small=\frac{\Large 1}{\Large n^p}\)收敛
\(p\small\geqslant \normalsize 1\)时,调和级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\small=\frac{\Large 1}{\Large n^p}\)收敛
级数的性质
- $\sum\limits_{n = 1}^\infty {k{a_n} = k\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} } $,k是常数;
- 若\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{v_n}}\)与\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}}\) 均收敛则有
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{v_n}} \pm \sum\limits_{n = 1}^\infty {{u_n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{v_n}} \pm {u_n}; \]
- 如果级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛则必有$$\lim\limits_{x \to \infty}a_n=0$$
反之若\(\lim\limits_{x \to\infty}a_n\small\neq0\),可以推出级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)不收敛- 若级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，则删去，增加或者改变级数中的有限项不改变其收敛性。
级数的审敛法
(正项级数) 比较审敛法
对于级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\)与\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\):
若 \(u_n\geqslant v_n\)且级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\)收敛 $ \Rightarrow$ 级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\)收敛;
若 \(u_n\leqslant v_n\)且级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\)发散 $ \Rightarrow$ 级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\)发散;
简记为大的（强级数）收敛，小的（弱级数）也收敛，小的发散，大的也发散。但是他们的逆命题都是不成立的。
(正项级数) 极限形式的比较审敛法——\(p\)级数与调和级数的应用
令\(\Large\lim\limits_{n \to \infty}\frac{u_n}{v_n} =l\)， \(u_n\)，\(v_n\)是两个正项级数的第n项。有如下判别方式：
- \(0<l<\infty\Rightarrow\) 级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\)与级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\)收敛性相同;
- \(l=\infty\Rightarrow\) 级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\geqslant\)级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\)此时参照比较审敛法;
- \(l=0\Rightarrow\) 级数\(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\leqslant\)级\(\sum\limits_{n=1}^\infty v_n\)此时参照比较审敛法;
在运用极限形式的比较审敛法的时候，我们需要找到一个参照的级数，一般选取\(p\)级数或等比级数与待审敛级数进行极限形式的比较;
(这里可能要用到等价无穷小，推荐复习一下常见的等价无穷小)
(正项级数) 比值审敛法——\(a_n\)带阶乘和幂指函数的级数适用
设 \(u_n>0\) 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho:\)
(1). 若\(\rho<1 \Rightarrow\)级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛
(2). 若\(\rho> 1 \Rightarrow\)级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\)发散
(3). 若\(\rho=1\)，无法判断级数敛散性（失效了）。
此方法用于审敛例如\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Large\frac{n!}{10^n}\)、\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Large\frac{n!}{n^n}\)等级数。
(交错级数)交错级数审敛法——莱布尼兹定理
用于解决交错级数$$u_1-u_2+u_3-u_4\cdots$$的敛散性。
若交错级数满足
(1). \(u_n\geqslant u_{n+1}\)(通项递减)
(2). \(\lim\limits_{n \to \infty}u_n=0\)
则交错级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛
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