神秘做题记录5

P4099 [HEOI2013] SAO

发现是树上的 AT_dp_t，考虑树形dp，设 \(dp_{i,j}\) 为以 \(i\) 为根的子树内满足条件且 \(i\) 在第 \(j\) 个的排列个数。

转移依旧是经典树背包形式，三层循环卷积 \(n^2\)，只不过这个就不是卷积了。

设 \(sum_{i,j}\) 为所有 \(dp_{i,k},k \le j\) 的和，其实 \(n^3\) 也能做但是加一个前缀和好理解。

转移很简单，是这样的：

• \(dp_{u,i + j} = dp_{u , i} \times (sum_{h , sz[h]} - sum_{h , j}) \times C_{i + j - 1}^{j} \times C_{sz[u] + sz[v] - i - j}^{sz[u] - i}(u < v)\)
• \(dp_{u,i + j} = dp_{u , i} \times sum_{h , j} \times C_{i + j - 1}^{j} \times C_{sz[u] + sz[v] - i - j}^{sz[u] - i}(u > v)\)

简单解释一下，\(j\) 就是钦定 \(j\) 个 \(v\) 子树里的点排在 \(u\) 前面，第一种情况 \(v\) 不准在这 \(j\) 个里，第二种情况 \(v\) 必须在这 \(j\) 个里。

然后就是那两个组合数，显然就是除了 \(u\) 和 \(v\) 其他随便了，而 \(u\) 和 \(v\) 我们已经钦定好，所以就是 \(u\) 的左边和右边随便排。

初始状态 \(dp_{u,1} = 1\)，细节上就是和树背包完全一致这里不多赘述，处理组合数可以用递推，少写点代码常数也小。

顺带一提，这个还有削弱版，P3757，送通过数的来了。

P10218 [省选联考 2024] 魔法手杖

发现是 xor min 问题，直接上 Trie 树，先考虑二分答案，已知 \(val\)，怎么做。

在树上递归决策 \(x\)，假设 \(val\) 这一位是 \(1\) ，\(x\) 这一位选 \(1\) ，那么 \(0\) 那一侧显然要往下递归，\(1\) 的一侧要加入 \(S\)。

至于可行性，就要看另一侧的 \(min(a_i) + x\) 是否大于等于 \(val\)，\(x\) 肯定是先取着最大可能值，因为只要有可能，我们就要向下看。

但是可能往下决策的过程中这个条件不满足了，这个时候记录 \(mna\) 然后判 \(mna + x \ge val\) 就行。

另一侧的 \(b_i\) 花费直接记 \(sumb\)，这样一来有用的信息都维护完了。

考虑时间复杂度，二分 \(k\)，check \(nk\)，总复杂度 \(nk^2\)，因为递归常数巨大无比还要int128所以绝对过不了。

发现check是可行性问题，可行性的东西基本就两个优化思路，第一个是上bitset但是这不是dp所以用不了，然后就是可行转最优化了。

换成贪心，递归中先设 \(val\) 的这一位为 \(1\)，看看行不行，行的话就取，否则置为 \(0\)，是 \(0\) 当然简单了啥限制都没有。

降蓝吧。