连续段DP学习笔记

P5999 [CEOI 2016] kangaroo

首先转换问题，跳到的位置序列其实是个排列，对于这个排列，首位要是 \(s\)，末位要是 \(t\)。

中间的位置有 \(p_{i - 1} < p_i > p_{i + 1}\) 或 \(p_{i - 1} > p_i < p_{i + 1}\)。

这个限制和下标有关，还和值域有关，我们肯定得扫描线扫一维，扫值域。

发现没扫完的时候填入的数会成为若干个连续段，为什么对于连续段考虑呢？因为相邻位置有限制。

发现新填进来的数一定为最大值，所以有两种方式第一种是新开一段第二种是合并两段，不可能挂在一边，这样这个数会有一边露出来，一边比他小一边比他大肯定不行。

具体刻画，设 \(dp_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数形成 \(j\) 段的方案数，转移式如下：

\(dp_{i , j} += dp_{i - 1 , j + 1} \times (j - [i > s] - [i > t])\)

\(dp_{i , j} += dp_{i - 1,j - 1} \times j\)

对于 \(s\) 和 \(t\) 转移也是简单的，不同的是我们可以选择接在首段前和尾段后。

\(dp_{i , j} = dp_{i - 1,j - 1} + dp_{i - 1,j}\)

于是做完了。

P2612 [ZJOI2012] 波浪

发现输出 \(30\) 位用 __float128，甚至还要数据点分治，接下来说的都抛开这些，因为不重要。

相邻位贡献，和值域有关，又是二维限制，扫值域。

怎么计算贡献呢？有些困难，但是发现这个可以拆，假设前 \(i\) 个数形成 \(j\) 个连续段，那么后面的贡献都要加上 \(2 \times j\)。

为什么呢？这个和拆 MEX 有点像，对于一个 \(a\) ，相邻的 \(p_i < a，p_{i + 1} \ge a\)，我们就称这一位产生了贡献，\(p_i\) 更大的情况也一样。

题解中也给出了图形化的理解，二维限制就在平面上画出来，两个相邻点连线，线的竖直落差就是差值。

连续段这边空着，相当于一个“插头”，即使这一位补上，把两个区间合并，插头也要产生贡献。

但是我们忽略了一件事，就是如果区间贴边，“插头”则不会生效，设有 \(c\) 个贴边情况，显然 \(c \in [0 , 2]\)。

那么，新加入一位答案固定增加 \(2 \times j - c\)。

开始刻画dp状态，设 \(dp_{i , j , k , c}\) 为考虑前 \(i\) 个数，形成 \(j\) 个连续段，总贡献为 \(k\)，贴边个数为 \(c\) 的概率。

转移就有点复杂了。

设 $dk = k + 2 \times j - c $。

• 在边上单开一段：\(dp_{i , j + 1 , dk , c + 1} += dp_{i , j , k , c} \times \frac{2 - c}{i}\)。
• 在非边上单开一段：\(dp_{i , j + 1 , dk , c} += dp_{i , j , k , c} \times \frac{j + 1 - c}{i}\)。
• 延伸到边上：\(dp_{i , j , dk , c + 1} += dp_{i , j , k , c} \times \frac{2 - c}{i}\)。
• 延伸到非边上：\(dp_{i , j , dk , c} += dp_{i , j , k , c} \times \frac{2 \times j - c}{i}\)。
• 合并两个连续段：\(dp_{i , j - 1 , dk , c} += dp_{i , j , k , c} \times \frac{j - 1}{i}\)。

这五个的边界正常判就ok了，不是难点，注意要让数组别越界我因为这个输出 \(0\)。

P7967 [COCI 2021/2022 #2] Magneti

水题切了。

发现两个磁铁互相之间是否吸引，只取决于磁力大的那个，而且，只要相邻的吸不上，不相邻的就更吸不上了。

经典的连续段dp模型定式启动，扫值域，记录段数。

发现一个事，就是可以空很多，未必两个磁铁放得尽可能近，这个乘组合数。

具体地，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个磁铁成 \(j\) 段占用长度为 \(k\) 的方案数。

转移如下：

• 单开一段：\(dp_{i , j , k} += dp_{i - 1 , j - 1 , k - 1} \times j\)。
• 延伸一段：\(dp_{i , j , k} += dp_{i - 1 , j , k - a[i]} \times j \times 2\)。
• 合并两段：\(dp_{i , j , k} += dp_{i - 1 , j + 1 , k - 2 \times a[i] + 1} \times j\)。

最后答案为 \(\Sigma dp_{n , 1 , i} \times C_{l - i + n} ^ n\)。

闲话：这是我的第 \(100\) 个洛谷紫题，还是我自己切的。

P9197 [JOI Open 2016] 摩天大楼 / Skyscraper

？！原原！？

同P2612只不过没它恶心，求的是方案数不用数据点分治不用卡精度不用快写。

特判 \(1\) 和精细刻画转移范围比较重要，有些细节。