集训8做题记录（下）

A：AT_abc342_f [ABC342F] Black Jack

先求 \(y\) 是每个值的概率，这个是dp，区间加上数据结构优化即可。

然后用这个dp决策 \(x\) 在当前见好就收还是继续，这个要区间查询，上数据结构。

本来都写上线段树了，zhr发现这个差分就能做于是优化到了O(n)。

B：AT_abc343_g [ABC343G] Compress Strings

水题。

发现可以状压，然后拼接可以减少贡献。

然后觉得包含的状态很烦人，发现被包含的没用，于是删去。

写KMP，写哈希，一下就写出来了。

C：AT_abc345_e [ABC345E] Colorful Subsequence

好题，有启发性。

一眼会 \(O(nk^2)\) 的dp，然后不会优化，磨蹭了一会还是放弃了看书了。

发现只要不是同一个颜色那么一定从最优决策点过来，也就是你确定了 \(i\) 从 \(j\) 转移，颜色不同直接取max就可以了。

但是颜色可以相同，发现维护cmx，做完了。

维护mx，cmx不是模拟赛出过的trick，忘没了？其实也和当时的状态不好有关。

D：AT_abc347_f [ABC347F] Non-overlapping Squares

出这题的人家里两位该保重了。

大粪讨，首先三个正方形横向，纵向排列这是一种情况。

然后就是剩下的情况，你画一条线一定能分出一个正方形，然后剩下的再分，形成如这样的：

111333

111333

111222

111222

发现这个旋转一下，只有四种本质不同，加上上面的两种，一共六个分讨。

然后情况明白了直接四个象限方向的前缀max维护出来就能做。

E：AT_abc349_f [ABC349F] Subsequence LCM

做得最坎坷的一题。

看一眼：切了！然后去练虚拟机，写完发现WA + TLE，一分析复杂度，假了！

红温！切回devc++，转换一下上bitset，分析复杂度认为 \(3.5e8\) 量级，但是还是T了 \(9\) 组。

然后换高维前缀和，和bitset一样的容斥，这个理论给100ms都差不多，但是，TLE。

我一行一行看，发现分解因数写成 \(O(m)\) 的了，这能对吗，然后改完过了。

我想，是不是bitset那个也能卡过？于是改了之后跑得飞快。

数据这么水？去卡暴力dp，把取模换成减法，给了两秒就跑 \(1.3\) 秒。

于是我一晚上连着切了这个题 \(3\) 次，疯狂鞭尸。

总结一下高维前缀和做法，我认为是最好的。

首先一个数都不整除 \(m\) 直接丢掉。

发现 \(4 | m\) 的话，\(2\) 无用，所以你对 \(m\) 分解因数形如 \(p^k\)。

然后发现最多只有 \(14\) 个考虑状压，可以容斥，就是所有情况 - 缺一个的 + 缺两个的。

钦定缺了哪些，这个是 \(2^k\)，然后就要计算不包含这些因数的数的个数，然后上快速幂计算，发现这个把 \(n\) 扫一遍不行，TLE。

发现其实是枚举超集，所以上高维前缀和，总复杂度 \(O(\sqrt m + nk + k2^k + logn2^k)\)。

F：AT_abc352_f [ABC352F] Estimate Order

暴搜，史。

G：AT_abc373_f [ABC373F] Knapsack with Diminishing Values

背包，发现如果重量都一样就好做了，重量都不一样也好做了因为总情况数是 \(nlnn\) 的。

于是按照重量分组，每组内部暴力贪心，可以用堆，但是复杂度瓶颈不在这里所以暴力扫。

现在我们把一组看成了一个物品，然后进行调和级数的背包，做完了。

H：AT_abc377_f [ABC377F] Avoid Queen Attack

cyf的做法神了，把限制看成 \(4\) 种，暴力容斥，首先一个状态本身好求排序unique即可。

然后两个并随便求了，三个的话就是照样枚举两个，判断这个点是否满足另一个限制。

四个同理，做完了。

I：AT_abc379_g [ABC379G] Count Grid 3-coloring

唐。

短边拎起来状压，变成板子。

J：AT_arc183_c [ARC183C] Not Argmax

这个题真不错吧，看到题有限制想图论发现不可能，然后思考了几个极端情况感觉不具有推广的可能。

于是想上笛卡尔树，因为有最值的性质，之后就茅塞顿开了，考虑笛卡尔树上dp。

实际就是区间dp，枚举 \(l,r,p\) 表示左端点，右端点，最大值位置，然后转移乘一个组合数，这个比较典了。

难点在于判断这个点是否合法，对于一个限制，只有 \(l \le L\) 且 \(R \le r\) 才有用，这个很难维护直接枚举 \(O(n^2m)\)。

这样过不去，考虑了类扫描线的转移，发现可以满足区间dp的转移要求，怎么维护这个呢？直接挂链，先挂到 \(r\) 上。

假设访问了这个 \(r\)，就释放上面的限制，把 \(X\) 挂在 \(L\) 上，然后每个 \(r\) 清空 \(vis\) 数组，往前扫，遇到 \(X\) 就 \(vis_X := 1\)。

假设 \(vis_p = 0\)，那么 \(p\) 就可以为最大值，否则不行，这么判就是对的。

复杂度 \(O(n^3 + nm)\)。