二分图知识点总结

1. 二分图的概念

2. 二分图最大匹配

3. 匈牙利算法

4. KM最大匹配算法

5. 最大匹配数：匹配是指两两没有公共点的边集合。在二分图中找出一个边数最大的匹配，即选择尽量多的边，使得任意两条选中的边没有公共点。

6. 最小点覆盖数：即选择最少的点，使得每条边至少有一个点被选择。

7.最大独立数：选取尽量多的点，使得任意两个点都不相连。

8.最小路径覆盖：对于一个有向无环图，选取最少的路径，使得每个定点均属于一条路径，路径长度可以为0。

 

定理： 

1。一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数

König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。

 

2。最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数

 在一个N*N的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，
 且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，
 那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．

由上面可以得出：

 1.一个单独的顶点是一条路径；
 2.如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的
   顶点之间存在有向边．

最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为G的一个路径覆盖．

 路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜G｜－最大匹配数；

3。二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

独立集：图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。