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三种经典排序方法 1. 三种常见排序算法解析 排序是编程的基石，选择合适的算法取决于稳定性、空间效率或速度等优先级。以下是三种广泛使用的排序方法，针对实际性能进行了优化。 算法 时间复杂度 主要优势 快速排序 平均: \(O(nlogn)\)最差: \(O(n²)\) 实际应用快；额外空间极少 归并 阅读全文
posted @ 2025-08-29 22:21
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欧拉函数 1. 定义 欧拉函数 \(\phi(n)\) 统计满足 \(1 \leq k \leq n\) 且 \(\gcd(k,n)=1\) 的整数 \(k\) 的个数。 示例： \(\phi(6) = 2\)（1和5与6互质） \(\phi(7) = 6\)（1 - 6所有数都与质数7互质） 2. 阅读全文
posted @ 2025-08-29 22:20
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快速乘法与快速幂 在编程竞赛和数学计算中，处理大数经常会遇到一个关键问题：溢出。即使使用C++的long long类型（大约能存储9.2e18的值），大数相乘或计算高次幂也很容易超出这个限制。快速乘法并非传统意义上的"快速"，而是为处理大数值提供了安全的替代方案。 快速乘法：通过分解实现安全计算 快 阅读全文
posted @ 2025-08-29 22:20
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欧几里得算法与扩展欧几里得算法（C++实现） 1. 欧几里得算法（最大公约数计算） 1.1 基本概念 欧几里得算法（又称辗转相除法）是一种计算两个整数最大公约数（GCD）的高效方法。它基于以下核心原理： gcd(a, b) = gcd(b, a % b) 其中 a % b 表示 a 除以 b 的余数 阅读全文
posted @ 2025-08-29 22:19
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稀疏表（Sparse Table）：通过 O(1) 查询实现高效区间查询 在竞争性编程中，我们经常需要高效地回答区间查询（例如“这个区间内的最大值是多少？”）。虽然线段树和树状数组很流行，但 稀疏表（Sparse Table）数据结构因其简洁性和速度而脱颖而出——它在 \(O(n \log n)\) 阅读全文
posted @ 2025-08-29 17:58
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栈与队列：C++实现的核心线性数据结构 线性数据结构——元素按顺序排列——是编程的基石。其中，栈（Stack） 和 队列（Queue） 因其简洁性及在算法中的广泛应用（如栈用于深度优先搜索，队列用于广度优先搜索）而脱颖而出。 1. 栈：后进先出（LIFO） 栈是一种“单端”结构，元素的添加和移除都在 阅读全文
posted @ 2025-08-29 17:58
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树堆（Treap）：融合二叉搜索树与堆实现平衡高效性能 树堆（Treap，Tree + Heap 的缩写） 是一种兼具灵活性与高效性的数据结构，它将二叉搜索树（BST） 的有序性与堆（Heap） 的自平衡能力相结合。这种混合设计确保了插入、删除以及排名查询、前驱/后继查找等高级操作在平均时间复杂度 阅读全文
posted @ 2025-08-29 17:57
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FFT(快速傅里叶变换)的原理与实现 多项式乘法的朴素做法是系数逐项相乘，时间复杂度为 \(O(n^2)\)，而快速傅里叶变换（FFT） 借助"系数→点值→系数"的转换，将复杂度降至 \(O(n\log n)\)。下面结合数学原理和代码实现，完整解析FFT的核心逻辑。 一、FFT的分治思想：多项式的 阅读全文
posted @ 2025-08-29 17:57
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