Euclidean

欧几里得算法与扩展欧几里得算法（C++实现）

1. 欧几里得算法（最大公约数计算）

1.1 基本概念

欧几里得算法（又称辗转相除法）是一种计算两个整数最大公约数（GCD）的高效方法。它基于以下核心原理：

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

其中 a % b 表示 a 除以 b 的余数。这个过程持续迭代，直到第二个数变为 \(0\)，此时第一个数就是原来两个数的最大公约数。

1.2 辗转相除法的正确性证明

要证明 gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，设 d = gcd(a, b)，r = a % b，则有：

1. 证明d是b和r的公约数

   • 因为 d | a且d | b（d能整除a和b）
   • 由 r = a - kb（其中k = ⌊a/b⌋）
   • 所以 d | (a - kb)，即d | r
   • 故 \(d\) 是 \(b\) 和 \(r\) 的公约数

2. 证明 gcd(b, r)是a和b的公约数

   • 设d' = gcd(b, r)
   • 则d'| b且d'| r
   • 由a = kb + r，得d'| a
   • 故 \(d'\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数

综上，gcd(a, b)与gcd(b, a % b)的公约数集合完全相同，因此它们的最大公约数必然相等。

1.3 C++实现

#include <iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    cout << gcd(a, b);
    return 0;
}

2. 扩展欧几里得算法

2.1 核心思想

扩展欧几里得算法是欧几里得算法的推广，它不仅能计算 a 和 b 的最大公约数d，还能找到整数 x 和 y，使得它们满足贝祖等式（Bézout's identity）：

a * x + b * y = d（其中d = gcd(a, b)）

2.2 贝祖等式的存在性证明（裴蜀定理）

定理：对于任意整数a, b，存在整数x, y使得a * x + b * y = gcd(a, b)。

证明：
设 S 为所有形如 ax + by 的正整数集合，取其中最小的正整数 s = ax₀ + by₀。

1. 证明s是a和b的公约数

   • 假设 \(s\) 不能整除 \(a\)，则 a = qs + r（\(0 \lt r \lt s\)）
   • r = a - qs = a - q(ax₀ + by₀) = a(1 - qx₀) + b(-qy₀)
   • 这与 \(s\) 是最小正整数的假设矛盾
   • 故 \(s\) 能整除 \(a\)，同理 \(s\) 能整除 \(b\)
   • 所以 \(s\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数

2. 证明s是最大公约数

   • 设 \(d\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的任意公约数，则 d | (ax₀ + by₀)，即d | s
   • 故 \(s \ge d\)，\(s\) 就是最大公约数

综上，存在整数 \(x\) , \(y\) 使得 ax + by = gcd(a, b)。

2.3 递归求解方法

基于欧几里得算法的递归结构：

• 基本情况：当 b = 0 时，gcd(a, 0) = a，此时 x = 1, y = 0
• 递归情况：已知 gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
  • 设 gcd(b, a % b) = bx' + (a % b)y'
  • 代入 a % b = a - ⌊a/b⌋b得：
    bx' + (a - ⌊a/b⌋b)y' = ay' + b(x' - ⌊a/b⌋y')
  • 故当前层的解为：x = y', y = x' - ⌊a/b⌋y'

2.4 C++实现

#include <iostream>

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    int x, y;
    int d = exgcd(a, b, x, y);
    // 最大公约数d, 以及一组特解 [x,y]
    cout << d << " " << x << " "  << y << endl;
    
    return 0;
}

3. 时间复杂度分析

两种算法的时间复杂度均为 \(O(log(min(a, b)))\)，这是因为每一步迭代中，余数至少会减小一半。即使对于极大的整数（如 \(10^{18}\) 级别），该算法仍能高效运行。