快速幂和龟速幂
快速幂:
//当a=n=0时要特判
int QuickPow(int a, int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else if (n % 2 == 1)
{
return QuickPow(a, n - 1) * a;
}
else
{
int temp = QuickPow(a, n / 2);
return temp * temp;
}
}
龟速幂:
当两个long long 类型的数相乘时,结果太大超出long long 的范围时,使用龟速幂
1<=x,y,m <=1e18 😭%m)
long long 范围9e18,当x=10,y=1e18时,x*y结果会越界
可以变成(51e18)%m+(51e18)%m
x*y本质上是: x个y相加,通过递归
当x为奇数时,xy=y(x/2)+y*(x/2)+y;
当x为偶数时,xy= y(x/2)+y*(x/2);
一步步将x*y变成一堆y相加,变乘法为加法
long long guimul(long long x, long long y)//x*y
{
if (x == 0)
return 0;
if (x == 1)
return y % m;
else if (x % 2 == 0)
{
long long temp = guimul(x / 2, y);
return (temp + temp) % m;
}
else
{
long long temp = guimul(x / 2, y);
return (temp + temp + y) % m;
}
}
矩阵快速幂
M
是一个\(n\times n\)的矩阵,求t个M相乘的结果。
同一个矩阵连乘满足结合律。
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
struct node
{
int mp[100][100];
};//矩阵
int n, mod;
node g(node a, node b)//表示两个矩阵相乘
{
node temp;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
temp.mp[i][j] = 0;
for (int k = 1; k <= n; k++)
temp.mp[i][j] = (temp.mp[i][j] + a.mp[i][k] * b.mp[k][j]) % mod;
}
}
return temp;
}
node quickpow(node a, int p)//矩阵a的n次方
{
if (p == 1)
return a;
else if (p % 2 == 0)
{
node temp = quickpow(a, p / 2);
return g(temp, temp);
}
else
{
node temp = quickpow(a, p - 1);
return g(temp, a);
}
}