数据结构与算法(十七)

普利姆算法

应用场景-修路问题

胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通，各个 村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里

问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路 总里程最短?

思路:

• 只满足连通：将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
• 满足连通，又保证总里程最短：就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

最小生成树

修路问题本质就是就是 最小生成树问题， 最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。

给定一个 带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树 ，它有如下特点：

• N 个顶点，一定有 N-1 条边
• 包含全部顶点
• N-1 条边都在图中

比如下图：
求最小生成树的算法主要是 普里姆算法 和 克鲁斯卡尔算法

普利姆算法介绍

普利姆（Prim）算法求最小生成树，也就是：在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的 极小连通子图

它的算法如下：

1. 设

• G=(V,E) 是连通网
• T=(U,D) 是最小生成树
• V、U 是顶点集合
• E、D 是边的集合

2. 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的visited[u]=1

3. 若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1

4. 重复步骤 ②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边

普利姆算法图解

以这个为例子：

1. 从 A 点开始处理

   与 A 直连的点有：

   • A,C [7]：后面中括号中的是他的权值
   • A,B [5]
   • A,G [2]

   在这个所有的边中，A,G [2] 的权值最小，那么结果是：A、G

2. 从 A、G 开始，找到他们的直连边，但是不包含已经访选择过的边。

   1. A,C [7]
   2. A,B [5]
   3. G,B [3]
   4. G,E [4]
   5. G,F [6]

   在以上边中，权值最小的是：G,B [3]，那么结果是：A、G、B

3. 以 A、G、B 开始，找到他们的直连边，但是不包含已经访选择过的边。

   1. A,C [7]
   2. A,B [5]
   3. G,E [4]
   4. G,F [6]
   5. B,D [9]

   在以上边中，权值最小的是：G,E [4]，那么结果是：A、G、B、E

4. A、G、B、E → 权值最小的边是 E，F [5] → A、G、B、E、F

5. A、G、B、E、F → 权值最小的边是 F，D [4] → A、G、B、E、F、D

6. A、G、B、E、F、D → 权值最小的边是 A，C [7] → A、G、B、E、F、D、C

那么最终结果则为下图：

总里程数量为：2+3+4+5+4+7=25

代码实现

/**
     * 利用普利姆算法求最小生成树和
     * @param mGraph 图
     * @param n 从哪个顶点开始
     */
public void prim(MGraph mGraph,int n){
    //用于记录哪个顶点被访问过，为1表示访问过，0表示没有访问过
    int[] visited = new int[mGraph.verxs];

    visited[n] = 1;//将当前开始的顶点设置为已经访问过
    int minWeight = 1000;//默认最小权值
    int h1 = -1;//记录最小边的两个顶点
    int h2 = -1;

    for(int k = 1; k < mGraph.verxs; k++){//有mGraph.verxs个顶点要构建mGraph.verxs-1条边

        for(int i = 0; i < mGraph.verxs; i++){//表示已经访问过的顶点
            for(int j = 0; j < mGraph.verxs; j++){//表示没有访问过的顶点
                if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && mGraph.weight[i][j] < minWeight){
                    minWeight = mGraph.weight[i][j];
                    h1 = i;
                    h2 = j;
                }
            }
        }
        System.out.println(">从顶点" + mGraph.data[h1] + "到" + mGraph.data[h2] + "顶点，权值：" + mGraph.weight[h1][h2]);
        visited[h2] = 1;
        minWeight = 1000;//重置
    }
}