数据结构与算法(九)

树结构基础部分

二叉树

为什么需要该数据结构

数组存储方式的分析

优点：
- 通过下标方式访问元素，速度快
- 对于 有序数组，还可以使用二分查找提高检索速度
缺点：如果要检索具体某个值或插入值（按一定顺序）会整体移动，效率较低，如下的示意图

链表存储方式的分析

优点：在一定程度上对数组存储方式有优化

例如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可，同理，删除效率也很好

缺点：检索效率较低

需要从头结点开始遍历查找。

简单说：

数组访问快，增删慢
链表增删快，访问慢

那么就出现了树这种数据结构

树存储数据方式分析

提供数据存储、读取效率。

例如：利用 二叉排序树（Binary Sort Tree），既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入、删除、修改的速度

如图所示：

插入时，小的数在 左节点、大的数在 右节点
查找时：根据插入事的特性，基本上就类似折半查找了，每次都过滤一半的节点
删除时：只需要移动相邻的节点的引用

树的常用术语

节点：每一个圆圈表示一个节点，也称节点对象
根节点：最上面，最顶部的那个节点，也就是一棵树的入口
父节点：有子节点的节点
子节点
叶子节点：没有子节点的节点
节点的权：可以简单的理解为节点值

有时候也用路径来表示
路径：从 root 节点找到该节点的路线
层
子树：有子节点的父子两层就可以称为是一个子树
树的高度：最大层数
森林：多颗子树构成森林

二叉树的概念

树有很多种，每个节点 最多只能有两个子节点 的一种形式称为 二叉树
二叉树的子节点分为 左节点 和 右节点

如果该二叉树的所有 叶子节点 都在 最后一层，并且 节点总数 = 2^n-1 （n 为层数），则我们称为 满二叉树
如果该二叉树的所有叶子节点都在最 后一层或倒数第二层，而且 最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为 完全二叉树

二叉树的遍历说明

有三种：

前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树（递归）和右子树（递归）
中序遍历：先遍历左子树（递归），再输出父节点，再遍历右子树（递归）
后序遍历：先遍历左子树（递归），再遍历右子树（递归），最后输出父节点

前、中、后序主要区别是输出父节点的时间来区分

二叉树遍历思路分析

前序遍历：
1. 先输出当前节点（初始节点是 root 节点）
2. 如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历
3. 如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历
上图的输出顺序为：1、2、3、4
中序遍历：
1. 如果当前节点的左子节点不为空，则递归中序遍历
2. 输出当前节点
3. 如果当前节点的右子节点不为空，则递归中序
上图的输出顺序为：2、1、4、3
后序遍历：
1. 如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历
2. 如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历
3. 输出当前节点
上图的输出顺序为：2、4、3、1

遍历代码实现

//定义节点
class HeroNode{
    private int no;//当前节点编号
    private String name;//当前节点名字
    private HeroNode left;//当前节点左子树
    private HeroNode right;//当前节点右子树

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
    //前序遍历
    public void preOrder(){
        //先输出当前节点
        System.out.println(this);
        //递归遍历左子节点
        if(this.left != null){
            this.left.preOrder();
        }
        //递归遍历右子节点
        if(this.right != null){
            this.right.preOrder();
        }
    }

    //中序遍历
    public void infixOrder(){
        //先输出左子树
        if(this.left != null){
            this.left.infixOrder();
        }
        //输出当前节点
        System.out.println(this);
        //输出右子树
        if(this.right != null){
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    //后序遍历
    public void postOrder(){
        //先输出左子树
        if(this.left != null){
            this.left.postOrder();
        }
        //输出右子树
        if(this.right != null){
            this.right.postOrder();
        }
        //输出当前节点
        System.out.println(this);
    }
}
//创建二叉树
class BinaryTree{
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }
    //前序遍历
    public void preOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.preOrder();
        }else{
            System.out.println("当前二叉树为空");
        }
    }
    //中序遍历
    public void infixOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.infixOrder();
        }else{
            System.out.println("当前二叉树为空");
        }
    }
    //后序遍历
    public void postOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.postOrder();
        }else{
            System.out.println("当前二叉树为空");
        }
    }
}

//创建二叉树
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();

//手动创建二叉树
HeroNode root = new HeroNode(1,"宋江");
HeroNode hero1 = new HeroNode(2,"吴用");
HeroNode hero2 = new HeroNode(3,"卢俊义");
HeroNode hero3 = new HeroNode(4,"林冲");
root.setLeft(hero1);
root.setRight(hero2);
hero2.setRight(hero3);
binaryTree.setRoot(root);

//遍历二叉树
System.out.println("前序遍历");
binaryTree.preOrder();
//中序遍历
System.out.println("中序遍历");
binaryTree.infixOrder();
//后序遍历
System.out.println("后序遍历");
binaryTree.postOrder();

二叉树查找

要求：

编写前、中、后序查找方法
并分别使用三种查找方式，查找 id=5 的节点
并分析各种查找方式，分别比较了多少次

由于二叉树的查找是遍历查找，所以就简单了，前面遍历规则已经写过了，改写成查找即可

//在节点中增加查找方法
//前序查找
public HeroNode preOrderSearch(int no){
    if(this.no == no){
        return this;
    }
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null){
        resNode = this.left.preOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null){
        return resNode;
    }

    if(this.right != null){
        resNode = this.right.preOrderSearch(no);
    }

    return resNode;
}

//中序查找
public HeroNode infixOrderSearch(int no){
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null){
        resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null){
        return resNode;
    }
    if(this.no == no){
        return this;
    }
    if(this.right != null){
        resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
    }
    return resNode;
}

//后序查找
public HeroNode postOrderSearch(int no){
    HeroNode resNode = null;
    if(this.left != null){
        resNode = this.left.postOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null){
        return resNode;
    }

    if(this.right != null){
        resNode = this.right.postOrderSearch(no);
    }
    if(resNode != null){
        return resNode;
    }
    if(this.no == no){
        return this;
    }
    return null;
}
//在二叉树中增加查找方法
//前序查找
public HeroNode preOrderSearch(int no){
    HeroNode resNode = null;
    if(this.root != null){
        resNode = this.root.preOrderSearch(no);
    }else{
        System.out.println("当前二叉树为空");
    }
    return resNode;
}

//中序
public HeroNode infixOrderSearch(int no){
    HeroNode resNode = null;
    if(this.root != null){
        resNode = this.root.infixOrderSearch(no);
    }else{
        System.out.println("当前二叉树为空");
    }
    return resNode;
}
//后序
public HeroNode postOrderSearch(int no){
    HeroNode resNode = null;
    if(this.root != null){
        resNode = this.root.postOrderSearch(no);
    }else{
        System.out.println("当前二叉树为空");
    }
    return resNode;
}

可以看出：

找到的次数和 查找的顺序 有关，而查找顺序就是哪一序有关
找不到的次数则是相当于都遍历完成，所以是相等的次数

二叉树删除

要求：

如果删除的节点是 叶子节点，则删除该节点
如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树

测试：删除 5 号叶子节点和 3 号子树。

说明：目前的二叉树不是规则的，如果不删除子树，则需要考虑哪一个节点会被上提作为父节点。这个后续讲解排序二叉树时再来实现。先实现简单的

思路分析：

由于我们的二叉树是单向的
所以我们判定一个节点是否可以删除，是判断它的 子节点，是否可删除，否则则没法回到父节点删除了，因为要判断被删除的节点满足前面的两点要求
1. 当前节点的 左子节点 不为空，并且左子节点就是要删除的节点，则 left = null，并且返回（结束递归删除）
2. 当前节点的 右子节点 不为空，并且右子节点就是要删除的节点，则 right = null，并且返回（结束递归删除）
如果前面都没有删除，则继续递归删除。上面的要求是 2 点，实际上是，找到符合条件的节点则直接删除（因为不考虑是否有子树）

如果树只有一个 root 节点，则将 root 节点置空

//节点中增加删除方法
public void delete(int no){
    if(this.left != null){
        if(this.left.no == no){
            this.left = null;
            return;
        }
    }

    if(this.right != null){
        if(this.right.no == no){
            this.right = null;
            return;
        }
    }

    //向左递归
    if(this.left != null){
        this.left.delete(no);
    }

    //向右递归
    if(this.right != null){
        this.right.delete(no);
    }
}
//二叉树中增加删除方法
public void delete(int no){
    if(this.root != null){
        if(this.root.getNo() == no){
            this.root = null;
            return;
        }else{
            this.root.delete(no);
        }
    }else{
        System.out.println("当前二叉树为空");
    }
}

顺序存储二叉树

基本概念

从数据存储来看，数组存储 方式和树的存储方式可以 相互转换。即使数组可以转换成树，树也可以转换成数组。如下示意图

上图阅读说明：

圆圈顶部的数字对应了数组中的索引
圆圈内部的值对应的数数组元素的值

现在有两个要求：

上图的二叉树的节点，要求以数组的方式来存储 arr=[1,2,3,4,5,6,7]
要求在遍历数组 arr 时，仍然可以以前序、中序、后序的方式遍历

特点

想要实现上面的两个要求，需要知道顺序存储二叉树的特点：

顺序二叉树通常只考虑 完全二叉树
第 n 个元素的 左子节点 为 2*n+1
第 n 个元素的 右子节点 为 2*n+2
第 n 个元素的 父节点 为 (n-1)/2

注：n 表示二叉树中的第几个元素（按 0 开始编号）

比如：

元素 2 的左子节点为：2 * 1 + 1 = 3，对比上图去查看，的确是 3
元素 2 的右子节点为：2 * 1 + 2 = 4，也就是元素 5
元素 3 的左子节点为：2 * 2 + 1 = 5，也就是元素 6
元素 3 的父节点为: (2-1)/2= 1/2 = 0，也就是根节点 1

三种遍历方式

//顺序存储二叉树
class ArrayBinaryTree{
    private int[] array;

    public ArrayBinaryTree(int[] array) {
        this.array = array;
    }
    //前序遍历输出顺序存储二叉树
    public void preOrder(int index){
        if(array == null || array.length == 0){
            System.out.println("数组为空，不能遍历完全二叉树");
        }
        //先输出当前元素
        System.out.println(array[index]);
        //再递归输出左子元素
        if((index*2+1) < array.length){
            preOrder((index*2 + 1));
        }
        //再递归输出右子元素
        if((index*2+2) < array.length){
            preOrder((index*2 +2));
        }
    }
    public void preOrder(){
        preOrder(0);
    }
    //中序遍历输出顺序存储二叉树
    public void infixOrder(int index){
        if(array == null || array.length == 0){
            System.out.println("数组为空，不能遍历完全二叉树");
        }
        if((index*2 +1) < array.length){
            infixOrder((index*2 + 1));
        }
        System.out.println(array[index]);
        if((index*2 + 2) < array.length){
            infixOrder((index*2+2));
        }
    }
    public void infixOrder(){
        infixOrder(0);
    }

    //后序遍历顺序存储二叉树
    public void postOrder(int index){
        if(array == null || array.length == 0){
            System.out.println("数组为空，不能遍历完全二叉树");
        }
        if((index*2 + 1) < array.length){
            postOrder((index*2+1));
        }
        if((index*2 + 2) < array.length){
            postOrder((index*2+2));
        }
        System.out.println(array[index]);
    }
    public void postOrder(){
        postOrder(0);
    }
}

线索化二叉树

引出线索化二叉树

看如下问题：将数列 {1,3,6,8,10,14} 构成一颗二叉树

可以看到上图的二叉树为一颗 完全二叉树。对他进行分析，可以发现如下的一些问题：

当对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 8,3,10,1,14,6
但是 6,8,10,14 这几个节点的左右指针，并没有完全用上

如果希望充分利用各个节点的左右指针，让各个节点可以 指向自己的前后节点，这个时候就可以使用 线索化二叉树 了

介绍

n 个节点的二叉树链表中含有 n + 1 个空指针域，他的推导公式为 2n-(n-1) = n + 1。

利用二叉链表中的空指针域，存放指向该节点在 某种遍历次序 *下的 **前驱** 和 **后继** 节点的指针，这种附加的指针称为*「线索」

前驱：一个节点的前一个节点
后继：一个节点的后一个节点

如下图，在中序遍历中，下图的中序遍历为 8,3,10,1,14,6，那么 8 的后继节点就为 3，3 的后继节点是 10

这种加上了线索的二叉树链表称为 线索链表（节点存储了下一个节点，组成了链表，并且一般的二叉树本来就是用链表实现的），相应的二叉树称为 线索二叉树（Threaded BinaryTree）。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为：前、中、后序线索二叉树。

思路分析

将上图的二叉树，进行 中序线索二叉树，中序遍历的数列为 8,3,10,1,14,6。

那么以上图为例，线索化二叉树后的样子如下图

的后继节点为 3
3 由于 左右节点都有元素，不能线索化
10 的前驱节点为 3，后继节点为 1
1 不能线索化
14 的前驱节点为 1，后继节点为 6
6 有左节点，不能线索化

注意：当线索化二叉树后，那么一个 Node 节点的 left 和 right 属性，就有如下情况：

left 指向的是 左子树，也可能是指向 前驱节点

例如：节点 1 left 节点指向的是左子树，节点 10 的 left 指向的就是前驱节点
right 指向的是 右子树，也可能是指向 后继节点

例如：节点 3 的 right 指向的是右子树，节点 10 的 right 指向的是后继节点

代码实现

//创建节点
class HeroNode{
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;
    //左右子树的类型，如果是左右子树就是0，如果是前驱或者后继节点就是1
    private int leftType;
    private int rightType;

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    public int getLeftType() {
        return leftType;
    }

    public void setLeftType(int leftType) {
        this.leftType = leftType;
    }

    public int getRightType() {
        return rightType;
    }

    public void setRightType(int rightType) {
        this.rightType = rightType;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
}
//创建线索化二叉树
class ThreadBinaryTree{
    private HeroNode root;//表示跟节点
    private HeroNode pre;//表示前驱节点

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }
    public void threadedNodes(){
        threadedNodes(root);
    }
    //中序线索化遍历
    public void threadedList(){
        if(root == null){
            System.out.println("线索化二叉树为空");
            return;
        }
        HeroNode node = root;
        while(node != null){
            //找到第一个有前驱节点的元素
            while(node.getLeftType() != 1){
                node = node.getLeft();
            }
            //输出第一个元素
            System.out.println(node);
            //当有后继节点的情况会进入
            while(node.getRightType() == 1){
                node = node.getRight();
                System.out.println(node);
            }
            //当一个节点没有后继节点的时候直接获取右子树
            node = node.getRight();
        }
    }

    //中序线索化
    public void threadedNodes(HeroNode node){
        if(node == null){
            return;
        }
        //先线索化左子树
        threadedNodes(node.getLeft());
        //再线索化当前节点
        /*
        * 1.设置前驱节点，
        * 2.设置后继节点
        * */
        if(node.getLeft() == null){
            node.setLeft(pre);
            node.setLeftType(1);
        }
        //线索化后继节点，需要遍历到下一个节点的时候，通过下一个节点设置
        if(pre != null && pre.getRight() == null){
            pre.setRight(node);
            pre.setRightType(1);
        }
        //将前驱节点后移
        pre = node;
        //线索化右子树
        threadedNodes(node.getRight());

    }
}

前序线索化和遍历

//前序线索化
public void preThreadedNodes(HeroNode node){
    if(node == null){
        return;
    }
    //先序列化自己
    if(pre != null && node.getLeft() == null){
        node.setLeft(pre);
        node.setLeftType(1);
    }

    if(pre != null && pre.getRight() == null){
        pre.setRight(node);
        pre.setRightType(1);
    }

    pre = node;
    //再序列化递归左子树
    if(node.getLeftType() == 0){
        preThreadedNodes(node.getLeft());
    }
    //再递归序列化右子树
    if(node.getRightType() == 0){
        preThreadedNodes(node.getRight());
    }
}
//前序序列化遍历
public void preThreadedList(){
    if(root == null){
        System.out.println("线索化二叉树为空");
        return;
    }
    HeroNode node = root;
    while(node != null){
        System.out.println(node);
        while(node.getLeftType() == 0){
            node = node.getLeft();
            System.out.println(node);
        }
        while (node.getRightType() == 1) {
            node = node.getRight();
            System.out.println(node);
        }
        node = node.getRight();
    }
}

posted @ 2021-10-16 15:49 无涯子wyz 阅读(64) 评论(0) 收藏举报

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