P1439 【模板】最长公共子序列

前置知识：

\(LIS\) :

即最长上升子序列 ( \(Longest\) \(Increasing\) \(Subsequence\) )

Luogu B3637 最长上升子序列

这是一个简单的动规板子题。
给出一个由 \(n(n\le 5000)\) 个不超过 \(10^6\) 的正整数 (\(x_1,x_2, \cdots ,x_n\)) 组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。
最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

设计状态 \(dp[i]\) 代表以第 \(i\) 个数字结尾的最长上升子序列。
并且有两层循环，第一层枚举 \(i\) 即结尾数字。
第二层枚举 \(j\) 从 \(1 \to i - 1\) 枚举结尾数字前的数字，并进行状态转移。
状态转移的条件：当 \(x_i > x_j\) 时，说明 \(dp[i]\) 可以继承 \(dp[j]\)
则有：

for(int i = 1;i <= n;i++){
    for(int j = i - 1;j >= 1;j--){
        if(a[i] > a[j]){
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}

然后再从 \(dp[1],dp[2],\cdots,dp[n]\) 中选出最大值即可。
则有解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a[MAXN];
int dp[MAXN];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = i - 1;j >= 1;j--){
            if(a[i] > a[j]){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1]);
    }
    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}

主解

\(LCS\)

即最长公共子序列 ( \(Longest\) \(Common\) \(Subsequence\) )
P1439 【模板】最长公共子序列

题目描述

给出 \(1,2,\ldots,n\) 的两个排列 \(P_1\) 和 \(P_2\) ，求它们的最长公共子序列。
输入格式

第一行是一个数 \(n\)。
接下来两行，每行为 \(n\) 个数，为自然数 \(1,2,\ldots,n\) 的一个排列。

解法一 \(O(n^2)\):

设排列 \(P_1 = A\) , \(P_2 = B\)
设计状态 \(dp[i][j]\) 表示排列 \(A_1,A_2,\cdots,A_i\) 和 \(B_1,B_2,\cdots,B_j\) 的最长公共子序列。
则两层循环分别枚举 \(i\) , \(j\)。
并有状态转移方程：
\(\left\{\begin{matrix} dp[i][j] = max( dp[i - 1][j] , dp[i][j - 1] ) \to A_i \ne B_j \\ dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i - 1][j - 1] + 1) \to A_i = B_j \end{matrix}\right.\)
那么有解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a1[MAXN], a2[MAXN];
int dp[1001][1001];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>a1[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>a2[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if(a1[i] == a2[j]){
                dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }else{
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] , dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][n];
    return 0;
}

当然了 \(O( n^2 )\) 只能拿到 50pts
于是

解法二 \(O( nlogn )\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a1[MAXN],a2[MAXN];
int belong[MAXN];
int f[MAXN],b[MAXN],len;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a1[i]);
        belong[a1[i]] = i;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a2[i]);
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        if(belong[a2[i]] > b[len]){
            b[++len] = belong[a2[i]];
            f[i] = len;
            continue;
        }
        int pos = lower_bound(b + 1, b + len + 1,belong[a2[i]]) - b;
        b[pos] = belong[a2[i]];
        f[i] = pos;
    }
    printf("%d", len);
    return 0;
}

\(END\)