裴蜀定理证明

简单裴蜀定理

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有 \(a\) 和 \(b\) 两数互质，则 \(\exists X,Y\in \mathbb{Z}\)，使得 \(aX + bY = 1\).

证明：
规定集合 \(S = \left \{ aX + bY | X,Y \in \mathbb{Z} \right \}\)
设 \(aX_0 + bY_0\) 为集合 \(S\) 中的最小正值
则对于 \(\forall aX + bY \in S\)
都可表示为 \(aX + bY = (aX_0 + bY_0)q + R\)，其中 \(q,R \in Z\)
经移项可得 \(a(X - X_0q) + b(Y - Y_0q) = R \in S\)
又因 \(aX_0 + bY_0\) 为最小正值且 \(R \ge 0\)
所以 \(R = 0\)
由假设可知 $\forall u \in S $
\(u \bmod (aX_0 + bY_0) = 0\)
所以 \(aX_0 + bY_0\) 为 \(S\) 中所有元素的最大公约数
又因 \(a\)，\(b\) 互质
则 \(aX_0 + bY_0\) 即为 \(gcd(a,b) = 1\)
得证。