线性筛质数

埃筛

for(int i=2; i<=n; i++)
{
    if(!del[i])
    {
        prim[++tot]=i;
        for(int j=i; i*j<=n; j++) del[i*j]=1;
    }
}

时间复杂度 \(O(n \log \log n)\)

欧筛

for(int i=2; i<=n; i++)
{
    if(!del[i]) prim[++tot]=i;
    for(int j=1; j<=tot&&prim[j]*i<=n; j++)
    {
        del[i*prim[j]]=1;
        if(i%prim[j]==0) break;
    }
}

if(i%prim[j]) break; 是最关键的一句话

是用来防止重复的，作用如下：

如果 \(prime_x\) 是 \(y\) 的最小质因数，那就说 \(y\) 是符合关于 \(prime_x\) 的“筛条件”的

\(j\) 循环到 \(i \mod prime_j\) 就恰好需要停止的理由是：

• \(i\) 的最小质因数肯定是 \(prime_j\)

如果 \(i\) 的最小质因数是 \(prime_s\) ，那么 \(prime_s\) 更早被枚举到（因为我们从小到大枚举质数），当时就会 break

既然 \(i\) 的最小质因数是 \(prime_j\) ，那么 \(i \times prime_j\) 的最小质因数也是 \(prime_j\) 。所以，\(i*prime_j\) 是符合关于 \(prime_j\) “筛条件”的。

• 设 \(prime_s\) 是 \(\leq i \times prime_j\) 的质数， \(i \times prime_s\) 的最小质因数是 \(prime_s\)

  如果是它的最小质因数是更小的质数 \(prime_t\)，那么当然\(prime_t\) 更早被枚举到，当时就要 break

  这说明 \(j\) 之前（用 \(i \times prime_s\) 的方式去筛合数，使用的是最小质因数）都符合是符合关于 \(prime_s\) 的“筛条件”。

• 设 \(prime_l\) 是 \(\geq i \times prime_j\) 的质数， \(i \times prime_l\) 的最小质因数是 \(prime_j\)

  因为 \(i\) 的最小质因数是 \(prime_j\)，所以 \(i \times prime_l\) 也含有 \(prime_j\) 这个因数，所以其最小质因数也是 \(prime_j\)（新的质因数 \(prime_l\) 太大了

  这说明，如果 \(j\) 继续递增（将以 \(i \times prime_l\) 的方式去筛合数，没有使用最小质因数），是不符合“筛条件”的。

经过这个优化，欧筛的时间复杂度是 \(O(n)\) 的