题解：P8430 [COI 2020] Zagrade

题面

思路

括号匹配，首先想到使用栈。

对于 Subtask 1 与 Subtask 3，遍历一遍 \(1 \sim n\)，每次将此次遍历到的下标加入栈，如果栈的大小 \(\ge 2\)，取出最上方的两个下标并询问是否合法，如果合法，那么必然是 (...)，的情况，记录并弹出栈。

对于为什么必然是 (...) 的情况，之后会有一点证明。

接下来考虑不合法的括号序列。

如果总序列不合法，那么栈一定不空，设 \(m\) 为栈中剩下的元素。

由于每次匹配都消耗 ( 和 ) 各 \(1\) 个，剩下 \(m\) 个括号中必然有 ( 和 ) 各 \(\frac{m}{2}\) 个。

对于前 \(\frac{m}{2}\) 个括号，一定与后 \(\frac{m}{2}\) 个不形成匹配，这时，我们可以对这前 \(\frac{m}{2}\) 个进行分类讨论，为了方便，这里仅对第 \(\frac{m}{2}\) 个括号进行讨论。

• 当第 \(\frac{m}{2}\) 个括号为 ( 时，后 \(\frac{m}{2}\) 个括号不能为 )，即只能为 (，此时 ( 有 \(\frac{m}{2}+1\) 个，不合法。
• 当第 \(\frac{m}{2}\) 个括号为 )时，前 \(\frac{m}{2}-1\) 个括号不能为 (，即只能为 )，此时 ( 为 \(\frac{m}{2}\) 个，合法。

综上所述，对于栈不空的情况，有且只有一种情况，为前 \(\frac{m}{2}\) 个括号为 ) 且后 \(\frac{m}{2}\) 个括号为 (。

还有一些小细节，可以在讨论区寻找。

证明

对于栈中合法匹配必然为 (...) 的情况，首先，第一次匹配成功的情况必然为 \(x\) 与 \(x+1\)，即最小的括号匹配 ()。之后，\(x\) 与 \(x+1\) 弹出，如果之后又有成功匹配，要么包含之前成功匹配过的序列，要么是最小括号匹配。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,Q;
char ans[N];
int ask(int l,int r){
	int Ask;
	cout<<"? "<<l<<' '<<r<<endl;
	cin>>Ask;
	return Ask;
}
signed main(){
	cin>>n>>Q;
	stack<int> s;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s.push(i);
		if(s.size()>=2){
			int r=s.top();
			s.pop();
			int l=s.top();
			s.pop();
			if(ask(l,r)){
				ans[l]='(';
				ans[r]=')';
			}else{
				s.push(l);
				s.push(r);
			}
		}
	}
	int sn=s.size();
	for(int i=1;i<=sn/2;i++){
		ans[s.top()]='(';
		s.pop();
	}
	while(!s.empty()){
		ans[s.top()]=')';
		s.pop();
	}
	cout<<"! "<<ans+1<<endl;
	return 0;
}