进阶指南---基本算法【阅读笔记】

成对变换

对于非负整数\(n\):

当\(n\)为偶数时，\(n xor 1\)等于\(n+1\)

当\(n\)为奇数时，\(n xor 1\)等于\(n - 1\)

“0 和 1”， “2 和 3”， “4 和5”......关于\(xor 1\)运算构成“成对变换”

这一性质常用于图论邻接表中边集的存储。在具有无向边（双向边）的图中把一对正反方向的边分别存储在邻接表数组的第\(n\）和\(n+1\)位置（\(n\)是偶数）

通过\(xor 1\)运算可以得到当前边和反向边的存储位置。

 

\(lowbit\)

\(lowbit(n)\)定义为非负整数\(n\)在二进制表示下“最低位的1及其后边所有的0”构成的数值。

\(lowbit(n) = n & (~n + 1) = n & (-n)\)

　　因为假设\(n\)的第\(k\)位是\(1\)， 第\(0~k-1\)位都是\(0\)

　　\(~n\)的第\(k\)为是\(0\)， 第\(0~k-1\)都是\(1\)

　　那么\(~n + 1\)的第\(k\)是\(1\)， 第\(0~k-1\)都是\(0\)

　　其实根据补码的一种求法也可以知道，\(~n +1\)的高位到第\(k+1\)位都和\(n\)相反，\(0~k\)位不变。

　　进行\(&\)运算后得到的就是\(lowbit(n)\)

\(lowbit\）加Hash可以找出整数二进制表示下所有是1的位，复杂度与1的个数同级。只需要每次做\(n = n - lowbit(n)\)的操作

用一个Hash数组来存储2的幂次，\(H[2^{k} mod 37] = k\), \(\forall k \in [0,35], 2^{k} mod 37互不相等，且恰好取遍1~36\)

 

二分

右移运算\( >> \)是向下取整，而整数除法是向零取整，对于二分值域包含负数时后者不能正常工作。

实数域上的二分

确定好精度\(eps\)以\(l+eps<r\)为循环条件。

保留\(k\)位小数的题目中，取\(eps = 10 ^ {-(k+2)}\)

或者采用循环固定次数的二分方法。