对分治法的思考

一、找第k小的数的分治算法
基于快速选择：
输入一个数组[left...right],则目标为k
1.若区间只有一个元素（leftright），直接返回该元素。
2.在区间内选择基准p，调用划分函数：把小于等于p的数放左边，大于p的放右边，返回基准元素最终的下标ans。
3.计算基准在当前区间是第几小：
设定m=ans-left+1
若km：返回p
若k<m:在[left, ans-1]中递归，找第k小
若k>m:在[ans+1,right]里找第k-m小。
二、时间复杂度分析
设数组总长度为 n
1.最好情况：每次划分，p都刚好把区间切得比较均匀（左右差不多一半）。每次递归只走一边，总代价：
T(n)=T(n/2)+O(n)
最好时间复杂度：O(n)
2。最坏情况：每次选的p都是区间里最大/最小元素，划分之后一边只有1个元素，另一边是剩下全部。
T(n)=T(n-1)+O(n)
最坏时间复杂度：O(n^2)
三、对分治法的思考
分治法分为分和治，主要有三个步骤：分解子问题，解决子问题，合并子问题。我认为它很巧妙的将复杂的问题拆解成易解的小问题，是一种简化思路，减少解题时间和规模成本的好方法。它以最小的，不可拆分的小问题为终止条件，不断地将问题嵌套解决，这样的步骤我们人脑乍一看很难理解，但仔细思考，就可以体会到解决这种重叠问题的曼妙。
分治法的效率依赖于划分的平衡性，划分均匀则复杂度低，不均匀则会退化。它是一种自顶而下的思路，和我们之后学的动态规划截然不同。
总结：分治法优点：思路清晰、适合并行计算；缺点：递归复杂，划分不好会让复杂度退化。