【推导】子集反演的形式化推导
基本形式
\[f(S)=\sum_{T \subseteq S} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T)
\]
证明
\[\begin{aligned}
& \sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T) \\
=& \sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \sum_{Q \in T} g(Q) \\
=& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) \sum_{Q \subseteq T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \\
=& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) \sum_{T \subseteq(S \backslash Q)}(-1)^{|S \backslash Q|-|T|} \\
=& \sum_{Q \subseteq S} g(Q) h(S \backslash Q)
\end{aligned}
\]
其中
\[\begin{aligned}
h(S) &=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} \\
&=\sum_{i=0}^{|S|}\left(\begin{array}{c}
|S| \\
i
\end{array}\right)(-1)^{|S|-i} \\
&=(1-1)^{|S|} \\
&=[S=\varnothing]
\end{aligned}
\]
有
\[\sum_{Q \subseteq S} g(Q)[(S \backslash Q)=\varnothing]=g(S)
\]
扩展形式
\[f(S) = \sum_{S \subseteq T} g(T)
\]
取补集。
\[f'(S) = f(U / S) = \sum_{U / S \subseteq U /T} g(U /T) = \sum_{T \subseteq S} g'(T)
\]
\[f'(S)=\sum_{T \subseteq S} g'(T) \Leftrightarrow g'(S) = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} f'(T)
\]
再取补集。
\[
f(S)=\sum_{S\subseteq T} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{S\subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} f(T)
\]
