【题解】P3953 [NOIP2017 提高组] 逛公园 缩点 tarjan 最短路图

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考虑将所有边权为 \(0\) 的边加入一张新图跑强连通分量缩点，处理出所有 \(0\) 环，缩点之后的图一定不存在 \(0\) 环。

用 \(\text{dijkstra}\) 跑出点 \(1\) 到其他所有点的最短路 \(dist[i]\)。

定义边 \((u,v,w)\) “在最短路中”当且仅当满足 \(dist[u] + w = dist[v]\) 。

因为不存在负权、零环、因此将所有“在最短路”中的边建图后一定是个 DAG，并且拓扑序满足对于任意边 \((u,v,w)\) ，\(dist[u] + w = dist[v]\) ，\(u\) 一定在 \(v\) 之前。

对建出的 \(\text{DAG}\) 跑拓扑排序得出拓扑序。

令 \(f[i,j]\) 为从 \(1\) 到点 \(i\) 长度为 \(dist[i] + j\) 的路径条数，按照拓扑序顺序 DP：

考虑 \(f[u,j]\) 如果从点 \(v\) 转移过来，如果这个状态是 \(f[v,x]\) 那么一定有

\(dist[u] + j = dist[v] + x + w\) （ \(w\) 是边 \((v,u,w)\) ） 的边权。

那么有 \(x = dist[u]+j - (dist[v] + w)\) 。

且满足 \(dist[u] - (dist[v] + w) \le 0\)。

若 \(x < 0\) ，那么该状态一定为非法状态（不存在比最短路还短的路径），对于合法状态一定有 \(x \le k\)。

tips: 在 dp 的时候顺便判一下有没有解（如果状态 \(f[x,j]\) 可以从状态 \(f[v,x]\) 转移过来且 \(f[v,x]\) 这个状态是 \(\text{inf}\) 的话那么 \(f[x,j]\) 也是 \(\text{inf}\)，如果连通分量大小 >1 那么如果存在一条从 \(1\) 到这个连通分量长度为 \(x\) 的路径那么一定有 \(f[v,x] = \text{inf}\) ）。

复杂度 \(O(n\log (n+m) + k(n+m))\) 。

可过 uoj hack数据。

uoj提交记录

另一种判零环的方法：

• 跑两次最短路可以求出经过点 \(x\) 的从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。
• 通过拓扑排序可以求出在环上的点。
• 如果经过 \(x\) 的从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路小于等于 \(d+K\) ，那么如果这个点在零环上一定无解。
• 如果不存在这样的点，那么一定有解，如果最短路大于 \(d+K\) 那么所有经过这个点的路径一定大于 \(d+K\) 。

有零边的最短路计数不能 dijkstra 的过程中求。

最短路图中若存在环，那么一定是 \(0\) 环，如果不能存在 \(0\) 环最短路图一定是 DAG。