笛卡尔树

定义

所谓笛卡尔树，就是将给定的\(n\)个二元组\((key,val)\)建成一棵树。使得如果只关注\(key\)，那么这是一个堆。如果只关注\(val\),那么这是一棵二叉搜索树。

有没有很像\(treap\)。

与\(treap\)不同的是，笛卡尔树是可以在\(O(n)\)时间内构建的。而且如果给定key,那么\(treap\)是可以被卡成一条链的。

构造

以小根堆为例。

借助栈来完成。先按照val从小到大排序。然后用栈维护出最右边的一条链。即

显然，这条链上的val是自上到下递增的。key也是自上到下递增的。

因为已经按照val排好序了，所以当我们往这棵树里插入点的时候，权值一定是当前最大的了。所以插入的这个点要么是最右下的一个点，要么就是根并且其他所有的点都在左子树上。

然后考虑\(key\)，只要沿着最右边这条链自下而上找到第一个\(key\)小于当前点的点。将当前点变为他的右儿子，并且将这个点原来的右儿子变为当前点的右儿子。

如图(标号表示key),现在要往里面插入一个6。最右边的链中，从下往上找到第一个比6小的点为5。然后将5的右子树变为6的左子树。6变为5的右儿子。变成这样。

如果所有点的key都比要插入的点小的话，那就直接把整棵树变为插入点的左子树就行了。

代码

Poj2201

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2019-06-05 15:06:45
* @Last Modified time: 2019-06-05 20:14:23
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000 + 100;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
struct node {
	int id,key,val,ls,rs,pre;
}TR[N];
int top,sta[N];
bool cmp(node A,node B) {
	return A.val < B.val;
}
bool cmp2(node A,node B) {
	return A.id < B.id;
}
int main() {
	// freopen("a.txt","r",stdin);
	// int n;
	// while(~scanf("%d",&n)) {
	int n = read();
	
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		TR[i].id = i;TR[i].val = read();TR[i].key = read();
		TR[i].pre = TR[i].ls = TR[i].rs = 0;
	}
	sort(TR + 1,TR + n + 1,cmp);
	top = 0;memset(sta,0,sizeof(sta));


	// sta[++top] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		int k = top;
		while(top && TR[i].key < TR[sta[top]].key) --top;
		if(top) {
			TR[i].pre = sta[top];
			TR[TR[sta[top]].rs].pre = i;
			TR[i].ls = TR[sta[top]].rs;
			TR[sta[top]].rs = i;
		}
		else {
			TR[sta[1]].pre = i;
			TR[i].ls = sta[1];
		}
		sta[++top] = i;
	}

	for(int i = 1;i <= n;++i) TR[i].ls = TR[TR[i].ls].id,TR[i].rs = TR[TR[i].rs].id,TR[i].pre = TR[TR[i].pre].id;

	sort(TR + 1,TR + n + 1,cmp2);
	puts("YES");
	for(int i = 1;i <= n;++i) printf("%d %d %d\n",TR[i].pre,TR[i].ls,TR[i].rs);
	// }
	return 0;
}