CF1178 F1 Short Colorful Strip

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题意

有个长度为\(m\)公分的布，要在上面每公分都染上颜色，整块布染恰好\(n(n=m)\)种颜色。颜色标号从\(1\)到\(n\)。染色需遵循:

1.从颜色\(1\)到颜色\(n\)依次，即必须先染标号小的颜色
2.每次可以染任意一个区间，但必须满足这个区间之前的颜色是相同的。

询问将这块布染成所给颜色的方案数。

solution

区间\(dp\)。

\(f[l][r]\)表示染好\([l,r]\)这个区间的方案数。\(g[l][r]\)表示最小的颜色最后单独染的方案数。

所以就有\(g[l][r] = f[l][t-1] \times f[t+1][r]\),(\(a[t]\)为区间\([l,r]\)中的最小值)

然后枚举一个\(k\)表示\([l,k]\)全染成最小颜色值的方案数。

那么就有\(f[i][j]=\sum\limits_{k=l}^{r-1}g[l][k]\times f[k+1][r]\)

最后\(f[1][n]\)即为答案。

code

/*
* @Author: wxyww
* @Date:   2019-07-21 09:01:13
* @Last Modified time: 2019-07-21 10:48:02
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#include<queue>
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using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 510,mod = 998244353;
ll read() {
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
int a[N],f[N][N],g[N][N];
int main() {
	int n = read(),m = read();
	for(int i = 1;i <= n;++i) a[i] = read();
	a[0] = 1e9;
	for(int i = 1;i <= n + 1;++i) g[i][i] = f[i][i] = f[i][i - 1] = g[i][i - 1] = 1;
	for(int len = 2;len <= n;++len) {
		for(int l = 1;l + len - 1 <= n;++l) {
			int r = l + len - 1,t = 0;
			for(int k = l;k <= r;++k) if(a[k] < a[t]) t = k;
			f[l][r] = g[l][r] = 1ll * f[l][t - 1] * f[t + 1][r] % mod;

			for(int k = l;k < r;++k) {
				f[l][r] = (f[l][r] + 1ll * g[l][k] * f[k + 1][r] % mod) % mod;
			}
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}