光度立体Photometric Stereo in 3D Biometrics

什么是光度立体？What is photometric stereo?

用多光源的方法来估计表面几何
需要三个方程来接三个未知数，所有用三个或三个以上的光源照射物体。

为什么要用光度立体？Why photometric stereo?

加强了脸部识别
在3D中更加丰富的数据集
环境照明独立性
促进姿势和表情的校正
非接触式指纹分析

它有什么特殊之处呢？

捕获反射率数据以进行2D匹配
和其它方法比较更优

与上述方法的比较如下：
1. Shape-from-Shading
  从阴影图案估计表面法向
2. Geometric stereo（立体几何）
3. Laser triangulation（激光三角）
  工业上识别速度很快
4. Projected Pattern Triangulation
  
  人脸是不容易识别的，可以看到在面部打上阴影，可从上图看出就如斑点一般，从而更好的识别面部。

基本方法The basic method

Assumptions:
1.No cast/self-shadows or specularities没有阴影或高光
2.Greyscale/linear imaging灰度/线性的图像，即未经处理的图像，类似GoPro都是经过处理的
3.Distant and uniform light sources远距离且均匀的光源
4.Orthographic projection正射投影
5.Static surface静止的表面
6.Lambertian reflectance朗伯反射

$N\cdot L=\left | N \right |\cdot \left | L \right |\cdot cos\theta $
其中 $\left | N \right |\cdot \left | L \right | $ 为常量，则有下面这个式子

图中 $\theta $ 为光源与法向之间的夹角， $I$ 为辐射度（强度）。

由平面方程可求得：

其中在 $x$ 方向上的梯度和在 $y$ 方向上的梯度可分别表示为：

为什么要将 $C$ 除过来呢？是为了凑成这样的形式：

其中令 $p=\frac{\partial z}{\partial x } $ , $q=\frac{\partial z}{\partial y }$

取光源向量和法向向量的点积，得到 $cos\theta $ ：

这一步就是用了向量的数量积

如果重新定义了 $r$ 并且相机响应是线性的，则

此时的已知量是
，
未知量是

可见有一个方程三个未知数，是不能解决的。
在Shape-from-Shading方法中
照射一个球体，可以看到球体中央强度最大，从中央向四周递减。

当$p_{s},q_{s}$发生变化时,即光照方向发生变化，光照强度的分布图如下所示：

分别使用圆锥曲线和球面表示:

我们可以使用几个光源方向来克服圆锥模糊性，也就是运用光度立体