用动态规划解决0-1背包问题

  0-1背包问题：给定n种物体和一个背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C，问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

  在选择将物品装入的时候，有两种选择，即装与不装。不能将同一件物品装入多次，也不能只装一部分物品。因此，该问题被称为0-1背包问题。

  首先来分析一下，我们要放入一些物品，这些物品的总质量是不能超过背包的容量的，而且还要让他们的质量之和达到最大。怎么才能实现呢？

m(i,j)={max(m(i+1,j),m(i+1,j-wi)+vi)}     j>=wi

当第i件物品的重量不超过背包容量的话，可以不装或者装。m(i+1,j)这个表示的是不装的情况，那么最优解存在于i+1至n。m(i+1,j-wi)+vi这个表示装入这个物品，那么背包的容量就会减少，减少至j-wi，此事最优解存在于剩下i+1中，还要加上第i个的质量。

        =m(i+1,j)                                       0<=j<wi

当第i件物品超过背包容量的时候一定不能放了！那么就在剩下的i+1到n之间找最优解。

下面我们通过一个例题理解一下！

一个背包的容量为10，有5件物品，每件物品的重量分别为2,5,4,2,3。质量为6,3,5,4,6。怎么放能使总质量最大？

用从c【i，j】表示最大总质量，i是放前i件物品，j是背包容量，下面是c【i，j】的图

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	0	0	6	6	6	6	6	9	9	9	9
3	0	0	6	6	6	6	11	11	11	11	11
4	0	0	6	6	10	10	11	11	15	15	15
5	0	0	6	6	10	12	12	16	16	17	17

当背包容量为1时，不能放入物品，五种情况下总质量都为零。只能放一件物品的时候，经过分析可以知道，最大总质量不管怎么样都是6。剩下的自己试着写出来吧！