MX 2026 集训

R1

R2

mex

R3

打的比较爆炸，就不放分了吧 /ll

R4

• 赛时：\(100+30+20+0=150\)
• 补题：

max

写了三个小时的题目。

必要性探路：设总进球数为 \(T\)，任意可行方案中最后一名球员的进球数 \(x\) 与助攻数 \(y\) 均为非负整数。总进球数等于所有人进球数之和，即 \(T=\sum_{i=1}^{n}a_i+x\ge \sum_{i=1}^{n}a_i=S_A\)；同理总助攻数等于所有人助攻数之和，即 \(T=\sum_{i=1}^{n}b_i+y\ge \sum_{i=1}^{n}b_i=S_B\)，因此 \(T\ge \max(S_A,S_B)\)。另一方面，每一粒进球必须由一名射手和一名助攻者完成且不能是同一人，所以对第 \(i\) 名球员，他参与的 \(a_i+b_i\) 个进球事件必须两两不同，从而 \(\forall i \in [1,n],a_i+b_i\le T\) 恒成立，故 \(T\ge \max_i(a_i+b_i)\)。综合这两类约束，任何可行方案都必须满足 \(T\ge \max\left(S_A,S_B,\max_i(a_i+b_i)\right)\)，这就是答案的下界。

充分性证明：取 \(T_0=\max\left(S_A,S_B,\max_i(a_i+b_i)\right)\)，并令最后一名球员的进球数 \(x=T_0-S_A\)、助攻数 \(y=T_0-S_B\)。由 \(T_0\ge S_A,S_B\) 知 \(x,y\ge 0\)，满足非负整数要求，此时总进球数与总助攻数均为 \(T_0\)，达到平衡。还需检查是否会出现自己助攻自己的情况：对前 \(n\) 名球员，由 \(T_0\ge \max_i(a_i+b_i)\) 可知每人的 \(a_i+b_i\le T_0\)，可将其参与的事件分配到不同进球中；对最后一名球员，他参与的进球事件数为 \(x+y=2T_0-S_A-S_B\)，而 \(S_A+S_B\ge \max(S_A,S_B)\) 且 \(S_A+S_B\ge \max_i(a_i+b_i)\)，所以 \(S_A+S_B\ge T_0\)，于是 \(x+y\le T_0\)，也不会自己助攻自己。因此 \(T_0\) 是一个可行的总进球数，结合必要性下界，答案即为 \(\max\left(S_A,S_B,\max_i(a_i+b_i)\right)\)。