题解：SP6562 PRUBALL - Esferas

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盲猜你们都是从 CSP-S 2025 初赛来的……

题目描述

给你 \(n\) 颗蛋和一个 \(m\) 层高的楼，定义蛋的硬度 \(k\) 为：在 \(<k\) 的楼层扔蛋不会碎，在 \(\ge k\) 的楼层扔蛋会碎。求在最坏情况下，最少需要扔多少次才能测出蛋的硬度。

数据范围：\(n \le 100,m \le 1000\)。

题目解析

首先考虑只有 \(n=1\) 颗蛋的情况，这时只能从低到高一层一层试。因为只有一颗蛋，如果不一层一层试，蛋就可能会在一个 \(>k+1\) 的层爆掉了，导致没法准确测出蛋的硬度：

将情况拓展到任意颗蛋的情况：如果直接想“第 \(i\) 颗蛋选某一层楼扔下去，就要纠结“选哪一层扔下去一个蛋”，很难想？怎么办？发现最终题目求的是“最少次数”，扔一次蛋就能确定蛋在某一层有没有碎，所以我们考虑设 \(dp_{i,j}\) 表示给你 \(i\) 颗蛋和 \(j\) 次测试机会，最多能确定多少层的蛋状态（碎或不碎），这时就不用考虑在哪一层扔蛋的问题了。

怎么转移？假设我们在第 \(x\) 层扔了一个蛋，那么就有两种情况：蛋碎了和蛋没碎。

• 碎了：说明蛋的硬度 \(k \le x\)，需要进一步测试，此时我们还剩 \(i-1\) 个蛋和 \(j-1\) 次机会，能够测出 \(dp_{i-1,j-1}\) 层楼的状态。
• 没碎：说明蛋的硬度 \(k>x\)，需要进一步测试，此时我们还剩 \(i\) 颗蛋和 \(j-1\) 次机会，能够测出 \(dp_{i,j-1}\) 层楼的状态。
• 不管第 \(x\) 层碎没碎，我们已经测出了当前层的蛋状态。

所以得到状态转移方程：

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i,j-1}+1 \]

初始状态是 \(\forall 1 \le j \le m,dp_{1,j}=j\)，即只有一颗蛋的情况（只能一层一层测）。

参考程序：

AC 记录：https://www.spoj.com/status/ns=35026269#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=211;
const int M=1218;
int caseid,n,m,ans=-1;
inline bool assert_ans(int h)
{
    if(h<0)
    {
        printf("You have no egg!\n");
        return false;
    }
    else if(h>m)
    {
        cerr<<h<<endl;
        printf("Wrong Answer!\n");
        return false;
    }
    else
    {
        printf("%d %d\n",caseid,h);
        return true;
    }
}
inline void guess1()
{
    vector< vector<int> > dp(n+2,vector<int>(m+2,0));
    ans=1218;
    for(int i=1;i<=n;i++)  //使用i个egg
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)  //扔j次egg
        {
            if(i==1) dp[i][j]=j;  //只有1个egg只能一次一次试
            else dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1+dp[i][j-1];
            if(dp[i][j]>=m)    //能够确定m层楼，更新答案
                ans=min(ans,j);
        }
    }
}
int main()
{
    // freopen("neuvillette.in","r",stdin);
    // freopen("neuvillette.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) 
    {
        scanf("%d%d%d",&caseid,&n,&m);
        if(n<=0) assert_ans(-12180211);
        else if(n==1) assert_ans(m);
        else
        {
            guess1();
            assert_ans(ans);
        }
    }
    cout.flush();
    return 0;
}
/*
dp[i][j]表示使用i个egg和扔j次egg最多能确定的楼层数
决策时需要考虑这一次扔egg碎没碎
*/

你说得对，但是《CSP-S 2025 初赛》是由 CCF 自主研发的开放世界冒险游戏。游戏发生在一个被称作「满线段树」的幻想世界，在这里，被模式串选中的人将被授予「next 数组」，导引 KMP 之力。你将扮演一位名为「机器规划员」的神秘角色，在自由的排列组合中邂逅性格各异、能力独特的方程的解，和他们一起走特殊最短路，找回失散的存在缺陷的生产线——同时，逐步发掘「You have no egg!」的真相。