【集合】集合概念、子集、交并补等

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注：这篇博客可能用了“一点点”对于我本人来说容易理解的说法

集合的概念

• 元素：研究对象统称为元素
• 集合：一些元素组成的总体

比如，原神里的七大元素就是一个集合，而风，雷，草，火，冰，水，岩这些就是元素。

集合与元素的关系：属于 \(\in\)、不属于 \(\not \in\)。比如“水元素属于原神中的元素”，“氢元素不属于原神中的元素”。

集合三大特性

确定性

集合中的元素必须是确定的。比如“原神中的水元素角色”这构成一个集合，因为确实有一个判定的标准。比如那维莱特是水元素角色，总不可能是草元素吧。这是客观确定的，所以构成一个集合。再比如“Phigros 中非常难的谱面”，有人说是“{Rrhar'il AT,Igallta AT}”，有人说是“{Galaxiation EZ}”，没有一个界定是否难的标准，所以这构不成一个集合。

无序性

集合中的元素可以任意排列。比如说“原神中的草元素角色”，可以写成{艾尔海森、纳西妲、柯莱、卡维}，也可以写成{艾尔海森、纳西妲、卡维、柯莱}，这些都是完全等价的集合。

（我应该没有忘记角色吧？）

互异性

对于给定的一个集合，集合中的元素必须是不同的。比如“那维莱特、芙宁娜、丝柯克、基尼奇”这个队伍中包含的元素类型（队伍乱配的），不能写成“{水、水、冰、草}”，要写成“{水、冰、草}”，原因是“水”重复了，只能写一个。

C++ set

集合就像 C++ 中的 set，第一你不能说一个元素 "Neuvillette" 既是一个 set 里的，又不是这个集合里面的，这就是确定性。第二你不能说 “\(1\) 在 \(2\) 的后面”，因为 set 的排序方法可以自己想怎么写就怎么写。这就是无序性。第三你不能说“一个 set 里面有两个 Alhaitham”，一个 set 里放两个相同的元素不是都自动去重了吗？这就是互异性。

常见数集

• 自然数集：\(\mathbf{N}\)；（自然Nature）
• 正整数集：\(\mathbf{N_+}/\mathbf{N^*}\)；
• 整数集：\(\mathbf{Z}\)；（整Zhěng数）
• 有理数集：\(\mathbf{Q}\)；
• 实数集：\(\mathbf{R}\)（真实Real）

集合的表示方法

列举法

直接写出集合里有什么东西。比如表示大于 \(1\) 小于 \(5\) 的整数：\(\left\{2,3,4\right\}\)

描述法

首先写下符号“\(\left\{\underline{\qquad}|\underline{\qquad}\right\}\)”，竖线的左边写下研究的对象，右边写下特征，特征如果有多项就用逗号隔开。比如我推：{原神角色|限定五星,水或草元素,须弥或枫丹,男}。这种表示方法可以用英语的定语从句来理解：“我推 is a 原神角色 who is 限定五星 and 水或草元素 and 须弥或枫丹 and 男”（先不管这个符不符合语法）

用回刚刚那个例子，大于 \(1\) 小于 \(5\) 的整数就可以写成 \(\left\{x|1<x<5,x \in \mathbf{Z}\right\}\) 或 \(\left\{x \in \mathbf{Z}|1<x<5\right\}\)。后面这个可以翻译成英文：“x is a 整数 which is \(1<x<5\)”。

子集的概念

空集是什么

比如说“原神中的氢元素角色”就是空集，因为你可以客观判断一个角色是不是氢元素的，但是原神里确实没有氢元素的角色啊。所以这个集合就是空集。

或者说电脑里面建了一个“新建文件夹”，里面啥都没有，说明“新建文件夹里的文件”是一个空集。

空集是一个集合，用 \(\varnothing\) 表示。注意空集这个东西很容易在题目里面挖一个坑出来，具体可以看下面的内容。