豆包大战 2024 GD 中考数学

卷子

一、选择题

ACBBD ABADC

评分：T4、T10 都挂掉了，\(+24 \operatorname{pts}\)

二、填空题

  1. \(5\)
  2. \(x > 2\)
  3. \(1\)
  4. \(-1\)
  5. \(16\)

评分：T12、T14、T15 都挂掉了？？？\(+6 \operatorname{pts}\)

三、解答题（一）

  1. 解题步骤：
  • 根据零指数幂的性质\(a^0 = 1\)（\(a\neq0\)），可得\(2^0 = 1\)；
  • 根据绝对值的性质\(\vert-\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}\)；
  • 根据算术平方根的性质\(\sqrt{4}=2\)；
  • 根据负整数指数幂的性质\(a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}\)（\(a\neq0\)），可得\(3^{-1}=\frac{1}{3}\)。
  • 则原式\(=1\times\frac{1}{3}+2 - \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+2-\frac{1}{3}=2\)。

评分：AC.\(+7 \operatorname{pts}\)

  1. 解题步骤：
    • （1）尺规作图步骤：
      1. 以点\(A\)为圆心，任意长为半径画弧，分别交\(AC\)、\(AB\)于点\(M\)、\(N\) 。
      2. 分别以点\(M\)、\(N\)为圆心，大于\(\frac{1}{2}MN\)的长为半径画弧，两弧在\(\angle BAC\)内部交于点\(P\) 。
      3. 作射线\(AP\)，射线\(AP\)即为\(\angle A\)的平分线\(AD\) ，交\(BC\)于点\(D\) 。
    • （2）证明：过点\(D\)作\(DE\perp AB\)于点\(E\)。
      因为\(AD\)是\(\angle A\)的平分线，\(\angle C = 90^{\circ}\)（即\(DC\perp AC\)），\(DE\perp AB\)，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以\(DC = DE\)。
      又因为\(\odot D\)以\(D\)为圆心，\(DC\)长为半径，即\(DE\)的长等于圆的半径，且\(DE\perp AB\)，所以\(AB\)与\(\odot D\)相切。

评分：AC.\(+7 \operatorname{pts}\)

  1. 解题步骤：
    • （1）在\(Rt\triangle ABQ\)中，\(\angle ABQ = 60^{\circ}\)，\(AB = 5.4m\)，\(\sin\angle ABQ=\frac{AQ}{AB}\)，则\(AQ = AB\sin60^{\circ}=5.4\times\frac{\sqrt{3}}{2}\approx5.4\times\frac{1.73}{2}=4.671m\)。
      因为\(CE = 1.6m\)，所以\(PQ = AQ - CE\approx4.671 - 1.6\approx3.1m\)。
    • （2）由（1）知\(BQ = AB\cos60^{\circ}=5.4\times\frac{1}{2}=2.7m\)，每个车位长为\(BQ = 2.7m\)。
      已知有\(20\)个停车位，则\(PN = 20\times BQ=20\times2.7 = 54.0m\)。

评分：第一问谁告诉你 \(PQ = AQ - CE\)？？第二问你直接算 \(20BQ\)？？？看在第一问算了个 \(AQ\) 给你一分吧。\(+1 \operatorname{pts}\)

四、解答题（二）

  1. 解题步骤：
    • （1）\(A\)景区得分：\(6\times30\% + 8\times15\%+7\times40\% + 9\times15\%=1.8 + 1.2+2.8 + 1.35 = 7.15\)；
      \(B\)景区得分：\(7\times30\% + 7\times15\%+8\times40\% + 7\times15\%=2.1 + 1.05+3.2 + 1.05 = 7.4\)；
      \(C\)景区得分：\(8\times30\% + 8\times15\%+6\times40\% + 6\times15\%=2.4 + 1.2+2.4 + 0.9 = 6.9\)。
      因为\(7.4>7.15>6.9\)，所以王先生会选择\(B\)景区。
    • （2）四项同等重要，即各项权重为\(\frac{1}{4}\)。
      \(A\)景区得分：\(\frac{6 + 8 + 7 + 9}{4}=\frac{30}{4}=7.5\)；
      \(B\)景区得分：\(\frac{7 + 7 + 8 + 7}{4}=\frac{29}{4}=7.25\)；
      \(C\)景区得分：\(\frac{8 + 8 + 6 + 6}{4}=\frac{28}{4}=7\)。
      因为\(7.5>7.25>7\)，所以王先生会选择\(A\)景区。
    • （3）（示例）设特色美食占\(20\%\)，自然风光占\(30\%\)，乡村民俗占\(30\%\)，科普基地占\(20\%\)。
      \(A\)景区得分：\(6\times20\% + 8\times30\%+7\times30\% + 9\times20\%=1.2 + 2.4+2.1 + 1.8 = 7.5\)；
      \(B\)景区得分：\(7\times20\% + 7\times30\%+8\times30\% + 7\times20\%=1.4 + 2.1+2.4 + 1.4 = 7.3\)；
      \(C\)景区得分：\(8\times20\% + 8\times30\%+6\times30\% + 6\times20\%=1.6 + 2.4+1.8 + 1.2 = 7\)。
      所以选择\(A\)景区，理由是按照自己设定的权重计算，\(A\)景区得分最高。

评分：AC.\(+9 \operatorname{pts}\)

  1. 解题步骤：
    设每吨降价\(x\)万元。
  • 利润方面：
    利润\(y=(5 - 2 - x)(100 + 50x)=(3 - x)(100 + 50x)=300+150x - 100x - 50x^{2}=-50x^{2}+50x + 300\)。
    对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），这里\(a=-50\)，\(b = 50\)，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{50}{2\times(-50)} = 0.5\)。
    因为\(a=-50<0\)，所以当\(x = 0.5\)时，\(y\)有最大值，\(y=-50\times(0.5)^{2}+50\times0.5 + 300=-12.5 + 25+300 = 312.5\)（万元），此时定价为\(5 - 0.5 = 4.5\)万元。
  • 销售收入方面：
    销售收入\(z=(5 - x)(100 + 50x)=500+250x - 100x - 50x^{2}=-50x^{2}+150x + 500\)。
    对称轴为\(x =-\frac{150}{2\times(-50)} = 1.5\)，因为\(a=-50<0\)，所以当\(x = 1.5\)时，\(z\)有最大值，\(z=-50\times(1.5)^{2}+150\times1.5 + 500=-112.5+225 + 500 = 612.5\)（万元），此时定价为\(5 - 1.5 = 3.5\)万元。
    所以当定价为\(4.5\)万元时，利润最大，最大值为\(312.5\)万元；当定价为\(3.5\)万元时，销售收入最大，最大值为\(612.5\)万元。

评分：AC.\(+9\operatorname{pts}\)

  1. 解题步骤：
    • （1）圆形滤纸的周长\(C = \pi d = 10\pi cm\)。
      设滤纸围成圆锥时底面圆的半径为\(r\)，圆锥侧面展开图扇形的弧长\(l = 2\pi r\)。
      将滤纸折叠后围成圆锥，若滤纸能紧贴漏斗内壁，则圆锥侧面展开图扇形的弧长等于漏斗口的周长，漏斗口的周长\(C_{漏斗}=2\pi\times\frac{7}{2}=7\pi cm\)。
      因为\(10\pi\neq7\pi\)，所以滤纸不能紧贴此漏斗内壁。
    • （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，圆锥底面半径\(r=\frac{7}{2}cm\)，圆锥的母线\(l = 7cm\)。
      根据圆锥的高\(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{7^{2}-(\frac{7}{2})^{2}}=\sqrt{49 - \frac{49}{4}}=\sqrt{\frac{147}{4}}=\frac{7\sqrt{3}}{2}cm\)。
      圆锥体积\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\times(\frac{7}{2})^{2}\times\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{343\sqrt{3}\pi}{24}cm^{3}\)。

评分：谁告诉你能不能紧贴漏斗内壁看什么周长？？证明相似或者证明角相等啊。第二问怎么把滤纸的底面半径直接按照漏斗的算，前面不是已经给出了滤纸的半径是 \(10cm\) 吗？\(+0\operatorname{pts}\)

五、解答题（三）

  1. 解题步骤：
    • （1）因为\(DE\)是\(\triangle ABC\)的中位线，所以\(DE\parallel BC\)，\(DE=\frac{1}{2}BC\)，\(AE = EC\)。
      \(\triangle ADC\)绕点\(D\)逆时针旋转，点\(E\)的对应点\(E'\)与点\(A\)重合，所以\(AD = DE\)，又\(DE=\frac{1}{2}BC\)，\(AD=\frac{1}{2}AB\)，所以\(AB = BC\)。
    • （2）因为\(DE\)是\(\triangle ABC\)的中位线，所以\(DE\parallel BC\)，\(DE=\frac{1}{2}BC\) ，\(AD = BD\)，\(AE = EC\)。
      \(\triangle ADC\)绕点\(D\)逆时针旋转得到\(\triangle A'DC'\)，则\(\triangle ADC\cong\triangle A'DC'\)，\(\angle ADB=\angle A'DC' = 180^{\circ}\)，\(AD = A'D\)，\(CD = C'D\)。
      因为\(DF\)是\(\triangle A'BD\)的中线，所以\(A'B = 2DF\)。
      易证\(\triangle BDC'\sim\triangle A'DC\)（两角分别相等），\(\frac{BD}{A'D}=\frac{DC'}{CD}\)，即\(A'D\cdot DC'=BD\cdot CD\) ，又\(A'B = 2DF\)，\(A'D = AD = BD\)，\(DC' = CC'\)，所以\(2DF\cdot CD=BD\cdot CC'\)。
    • （3）存在。
      证明：在\(BC\)上取一点\(G\)，连接\(AG\)、\(DG\)、\(EG\)，使得\(\angle DGE=\angle B\)。
      因为\(\tan B=\frac{4}{3}\)，\(BE = 3\)，\(DE\perp BC\)，所以\(DE = 4\)。
      可证\(\triangle ADG\sim\triangle BEG\)（两角分别相等），则\(\angle AGD=\angle BGE\)，又\(\angle BGE+\angle CGE = 180^{\circ}\)，所以\(\angle AGD+\angle CGE = 180^{\circ}\)。

评分：\(\triangle BDC'\sim\triangle A'DC\) 是什么鬼？第三问在写什么？？给你第一问一点分加上消耗算力给的辛苦费，一共四分吧。哦辛苦费不给，因为我修这个豆包给的破烂 \(\LaTeX\) 搞半天。\(+3\operatorname{pts}\)

  1. 解题步骤：
    • （1）设\(B(x_{1},ax_{1})\)，\(D(x_{2},ax_{2})\)（\(x_{2}>x_{1}>0\)），因为四边形\(ABCD\)是矩形，\(AD\parallel x\)轴，所以\(A(x_{1},ax_{2})\)，\(C(x_{2},ax_{1})\)。
      因为反比例函数\(y = \frac{k}{x}\)图象过点\(A\)，所以\(k = x_{1}\cdot ax_{2}\)，对于点\(C(x_{2},ax_{1})\)，\(x_{2}\cdot ax_{1}=x_{1}\cdot ax_{2}=k\)，所以函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象必经过点\(C\)。
    • （2）因为点\(B\)坐标为\((1,a)\)，矩形\(ABCD\)沿\(BD\)折叠，点\(C\)的对应点为\(E\)，点\(E\)落在\(y\)轴上。
      过\(B\)作\(BF\perp y\)轴于\(F\)，可证\(\triangle BEF\sim\triangle BDO\)。
      设\(D(m,am)\)，则\(AD = m - 1\)，\(AB = am - a\)，根据折叠性质和勾股定理等可求得\(a = 2\)，\(m = 3\)，则\(A(1,6)\)，所以\(k = 6\)。
    • （3）当点\(E\)，\(A\)重合时，设\(B(x_{1},ax_{1})\)，\(D(x_{2},ax_{2})\)，由折叠性质和矩形性质，结合\(OP = 3\sqrt{2}\)等条件，利用相似三角形、勾股定理等知识：
      当\(\odot O\)与\(AB\)边相切时，求出\(k\)的一个值；当\(\odot O\)与\(BC\)边相切时，求出\(k\)的另一个值。
      经过计算可得\(k\)的取值范围是\(4\leqslant k\leqslant16\)。

评分：第一问没问题，第二问和第三问你是在跃迁吗？写这么快？答案又算错又跳步骤，不给分了。\(+3\operatorname{pts}\)

总分：\(69 \operatorname{pts}\). 我可以吊打豆包力（喜）

posted @ 2025-05-21 23:32  wwwidk1234  阅读(38)  评论(0)    收藏  举报