TQX DP again

AGC035D Add and Remove

感觉有点像Pocky Game的套路。

显然最后只会剩下 \(a_1\) 和 \(a_n\)，我们不考虑这两个数。

一开始会想到设 \(f_{l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 在 \(a_{l-1},a_{r+1}\) 之前删除的答案，你会发现它无法考虑到 \(a_{l-1},a_{r+1}\) 的影响，于是我们将这两个值也计入状态。令 \(f_{l,r,fl,fr}\) 表示删除区间 \([l,r]\) 时，\(a_{l-1}\) 被计算了 \(fl\) 次，\(a_{r+1}\) 被计算了 \(fr\) 次的贡献，转移枚举间断点计算即可。

\((fl,fr)\) 的变化可以看成一棵二叉树，总状态数是 \(\Theta(n^22^n)\) 的。

CF1517F Reunion

设有空的志愿者是黑点，没空的是白点。

考虑枚举半径 \(r\)，计数恰好 \(r\) 的转化成计数 \(\le r\)。容易发现条件等价于任意一个黑点 \(r\) 步之内必有白点，即所有白点拓展 \(r\) 步覆盖了所有黑点。

容易想到设 \(f_{i,j,k}\) 表示点 \(i\) 子树内最浅的白点深度为 \(j\)，未被覆盖的黑点深度最深为 \(k\) 的方案数，直接转移是 \(O(n^4)\) 的。我们发现所有黑点都被覆盖就不用记录 \(j\)，否则这个子树内的白点没有用的。我们将 \(j/k\) 压到一维，用正负表示有用的是 \(j\) 还是 \(k\)，树上背包即可变成 \(O(n^2)\)

P7897 [Ynoi2006] spxmcq

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的答案，那么暴力 dp 是显然的：\(f_i=a_i+x+\sum \max\left(f_v,0\right)\)

\(\max\) 很讨厌，我们考虑维护一个森林，\(i\rightarrow fa_{i}\) 有边当且仅当 \(f_i>0\)，显然这个森林随着 \(x\) 的增大只会加边。我们离线按 \(x\) 排序，每次找出要加的边，树状数组维护子树和即可。问题变为如何快速找到要加的边。

设 \(siz\) 为子树大小，\(sum\) 为子树和，那么 \(f_i=sum_i+xsiz_i\)，\(f_i>0\) 的条件是 \(x\ge \lceil{-sum_i\over siz_i}\rceil\)，维护一个小根堆，按 \(\lceil{-sum_i\over siz_i}\rceil\) 排序即可。容易发现链一条边至多只会影响一个点的值。

CF1326G Spiderweb Trees

咕咕咕

CF1456E XOR-ranges

我们考虑对于 \(x_i\)，它在哪一位能解除 \([l_i,r_i]\) 的限制。我们发现 \(l_i,r_i\) 首先往上有若干位是相同的；对于第一个不同的位置，它可以选择解除上界/下界的限制；对于接下来的位置，可以在一个 \(1\) 处解除上界/在一个 \(0\) 处解除下界。如果一个 \(x\) 在之后没有限制了，那么它的最优方案显然是和左边/右边的数选的一样，相当于它已经不存在了，我们将它删去不影响结果。

于是考虑设 \(f_{c,l,r,0/1,0/1,0/1,0/1}\) 表示 考虑到从高到低第 \(c\) 位，\(l,r\) 被删完了，并且 \(l-1\), \(r+1\) 没有被删去，确定了 \(l-1\),\(r+1\) 的限制情况。考虑倒着转移，枚举哪个数脱离了限制即可，注意可以没有数解除限制。

CF1158F Density of subarrays

脑车题。

考虑算一个序列的密度：每个位置向所有它之后 \([1,c]\) 中每个数第一次出现的位置连边，密度就是从头走到尾的最短路，显然可以每次贪心的往后面走

然后有个显然的 dp：设 \(f_{i,j}\) 表示考虑到前 \(i\) 个位置，第 \(i\) 个位置被选择且在最短路上，最短路长度为 \(j\) 的方案，显然你可以枚举上一个位置在哪里，转移系数是在这个区间里选一个密度为 \(1\) 的子序列的方案数，这个显然是 \(\prod (2^{cnt_i}-1)\)(强制 \(cnt_{a_{i-1}}=1\))。可以 \(O(n^2)\) 预处理。

稍加分析你会发现密度不超过 \(n\over c\)，转移是 \(\Theta\left({n^3\over c}\right)\) 的。

你发现在 \(c\) 很小的时候它挂了，但是在 \(c\) 很小的时候你可以直接状压元素的出现状态，得到一个 \(\Theta\left({n^22^c\over c}\right)\) 的 dp。

综合两个做法就可以过了。

CF1466H Finding satisfactory solutions

\(i\) 向 \(a_i\) 连黑边，如果 \(i\) 更喜欢 \(j\)，那就向 \(j\) 连白边，合法等价于没有白边在一个环上。

于是把黑边连的环缩起来，相当于计数连出一个 DAG 的方案数，有一个套路的状压+容斥做法。

我们发现大小相同的环没有本质区别，把状压的东西改成所有不同大小的环的数量，状态变成了 \(n\) 的拆分数的级别，可以通过。

P3642 [APIO2016] 烟火表演

\(f_i(x)\) 表示 \(i\) 子树内到 \(i\) 的时间为 \(x\) 的最小代价，转移时显然的。

容易发现它是若干个下凸函数相加，自然也是个下凸函数，考虑 Slope Trick，考虑将它加到父亲节点的影响，分四段讨论即可。

考虑 \(f_i(0)\) 直接就是边权和，所以答案可以通过 \(f_i(0)\) 简单推出。

P4655 [CEOI2017] Building Bridges

写出暴力 dp 式子，发现后面的转移是个一次函数，李超树优化即可。

CF1603D Artistic Partition

有一个显然的 2d/1d dp，推推式子发现满足四边形不等式，分治即可。

AGC035E Develop

\(x\) 向 \(x-2\) 和 \(x-K\) 连边，显然我们最后删掉的点集中不可能有环。观察一下环长什么样，不难想到分奇偶讨论：

如果 \(K\) 是偶数，显然奇偶性相同的是两个连通块，对两个分开考虑。我们发现没有环的限制可以被表述成不能选连续的 \(K\over 2\) 个数，简单 dp 即可。

如果 \(K\) 是奇数，考虑下图：

每个环一定是形如向上向右在向上然后找到一个能连下来的节点，我们考虑从上往下逐层 dp，设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑到第 \(i\) 层，最长的向上向右在向上的路径长为 \(j\) 且 图右边从 \(i\) 曾向上连续 \(k\) 个点都被选中了的方案数，转移考虑这一层两个节点的 \(4\) 种选择情况即可。

CF1292F Nora's Toy Boxes

咕咕咕