神秘基环树

给一棵带边权的基环树，每次选一条有 \(\textbf{3}\) 条边的链，获得这 \(\textbf{3}\) 条边的权值并删去它们（只删边，点保留），求能获得的最大价值。\(n\le 10^5\)

Sol

先考虑树怎么做，容易发设 \(f_{i,0/1/2}\) 表示节点 \(i\) 往下挂了长为 \(0/1/2\) 的链时获得的最大价值，\(1\) 和 \(2\) 会互相配对。我们将 \(1\) 的重量设为 \(1\)，\(2\) 的重量设为 \(-1\)，实际上就是一个背包。

但是直接跑背包会被卡到 \(\Theta(n^2)\)，不妨考虑随机打乱顺序，背包的最大容量只需要到 \(O(\sqrt{n})\) 级别。

基环树的话随便断环上的一条边即可处理。