扩展欧几里得通解与最小正整数解

首先，我们有式子：

ax+by = gcd(a,b)，

为了方便，我们把gcd(a,b)缩写成 d ，即：

ax+by = d，①

假设我们已经求出一组解x_₀和y_₀ ，那么有 ：

ax_₀ + by_₀ = d，②

联立①和②，把 d 消掉，就有：

a(x-x_₀) = -b(y-y_₀)，

设a'=$\frac{a}{d}$ ，b'=$\frac{b}{d}$，于是：

a'(x-x_₀) = -b'(y-y_₀)，

观察式子，我们可以发现: gcd(a',b') = 1，那么 (x-x₀) 必然是 b'的倍数，

即，b' | (x-x₀)，设 (x−x_₀) = b'k，代入得：

a'b'k=-b'(y-y_₀)，

消掉b'，同时把a'展开，即a'=$\frac{a}{d}$，变成：

$\frac{a}{d}$k = -(y-y_₀)，

最后移项化简，得到关于y的通解：

y=y_₀-$\frac{a}{d}$k，k$\in \mathbb{Z}$

同理我们也可以得到x的通解：

x=x_₀+$\frac{b}{d}$k，k$\in \mathbb{Z}$

最终，我们把x和y的通解写成：

x = x_₀ + $\frac{b}{d}$k

y = y_₀ - $\frac{a}{d}$k

此外，求最小x的最小正整数解 也就是求 x = x_₀+$\frac{b}{d}$k >= 1,④

移项可得 ： k >=  $\frac{(1-x₀)*d}{b}$,

当 k = $\left \lceil\frac{(1-x₀)*d}{b}\right \rceil$时，带入④式，x取得最小正整数解

同时，x的最小非负解也有 x = x_₀ % $\frac{b}{d}$，

为了消除负数取模结果带来的影响一般写成：

x = (x_₀ % $\frac{b}{d}$ + $\frac{b}{d}$) % $\frac{b}{d}$