随笔分类 - 基础算法——DP
十分常用的算法，大致目录如下：
普通DP，记忆化搜索（实质是DP，但在实现方式上与普通DP各有优劣），状压DP，数位DP，树形DP，区间DP，概率/期望DP，数学DP，插头DP，最短路DP。。。。。。。。
各类常见DP优化如下：
单调队列优化，斜率优化，决策单调性优化（其实上面两种某种意义上也包括在这里面）
摘要：###A.Leading 1s 题面 题目大意： 定义$f(i)$为$i$的前缀1个数，现给定n求$\sum_{i = 1}^{n}f(i)$ 题解： emmm官方题解貌似也挺精妙的，不过我就直接上数位DP了，复杂度也一样。 直接DP数组统计前导1个数不太方便，因为前导1最多就15个，所以我们考虑统
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摘要：题面 "[USACO12NOV]同时平衡线Concurrently Balanced Strings" 题解 考虑DP。 $f[i]$表示以$i$为左端点的合法区间个数。令$pos[i]$表示以$i$为左端点，最靠左的合法右端点。 那么有如下转移： $f[i] = f[pos[i] + 1] + 1
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摘要：题面 "题面" $\Delta$题面有点问题，应该是数列中没有长度大于 等于 $len$的连续数字才是合法的. 题解 设$f[i][j]$表示DP到$i$位，以$j$为结尾的方案数, $sum[i]$表示$\sum_{j = 1}^{k}f[i][j]$, $g[i][j]$表示第$i$位为结尾，当
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摘要：题面 "题面" 题解 (表示第一段文字导致我在考场上没看懂题……因为我以为这个定义是定义在整个排列上的，所以相似 = 相同。结果其实是可以应用在一个区间上……) 首先我们发现，2个区间相似，其实就是离散化之后相同。 观察到，相似区间的位置是没有影响的，且由于数字两两不同，所以不管相似区间内是哪些数，
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摘要：照惯例CF的题不放原题链接。。。 题意：一个序列上有n个点，每个点有权值pi和si。表示这个点一开始有pi个物品，最多可以卖出si个物品，每个点都可以把物品向编号更大的点运输，但是对于i < j的任意点对(i, j)最多从i到j运c个物品。求最多能卖出多少个物品。 题解： 如果不考虑数据范围的话，可
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摘要：题面：CF311B Cats Transport 题解： 首先我们观察到山与距离其实是没有什么用的，因为对于任意一只猫，我们都可以直接算出如果有一个人要恰好接走它，需要在哪一时刻出发，我们设第i只猫对应的这个时刻为$t_{i}$. 注意这个$t_{i}$是我自己新定义的，跟题目中的没有关系，下面所写
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摘要：题面：[NOIP2017]宝藏 题面： 首先我们观察到，如果直接DP，因为每次转移的代价受上一个状态到底选了哪些边的影响，因此无法直接转移。 所以我们考虑分层DP，即每次强制现在加入的点的距离为k（可能实际上小于k），这样就可以忽略掉上个状态选了哪些边的影响了。 所以这样为什么是正确的呢？ 设f[i
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摘要：题意： 给定一个序列，你要将其分为k段，总的代价为每段的权值之和，求最小代价。 定义一段序列的权值为$\sum_{i = 1}^{n}{\binom{cnt_{i}}{2}}$,其中$cnt_{i}$表示当前这段序列中数字大小为i的数的个数。 题解： 先考虑暴力DP， f[i][j]表示DP到i位，
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 首先我们要观察到一个性质，因为在固定的起始距离下，经过固定的操作，最后所在的位置是固定的，我们设经过操作1 ~ i之后所在的地方距离终点为d[i]. 那么如果女巫可以修改第i个操作，那么就相当于已经经过了1 ~ i - 1的操作，所以这个时候Alice已经在d[i - 1]
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摘要：题意：求节点数为n的，高度大于等于h的二叉树的个数。 题解： 一开始没看到二叉树的限制，，，想了好久。因为数据范围很小，所以可以考虑一些很暴力的做法。 有2种DP方式都可以过。 1，f[i][j]表示节点数为i，高度恰好为j的方案数，那么$ans = \sum_{i = h}^{i <= n}{f[
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摘要：~~~题面~~~ 题解： 观察到拼接后的数据范围过大，无法O(n)解决，但是大区间是由很多小区间组成，而小区间是固定的，不会变化，所以可以考虑预处理出每个小区间的信息，然后根据给定序列按顺序一步一步合并区间信息。 跟线段树维护区间最大子段和类似，要合并2个区间我们只需要知道如下信息： 前缀最大子段和
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 感觉还是比较妙的，复杂度看上去很高（其实也很高），但是因为n只有100，所以还是可以过的。 考虑一个很暴力的状态f[i][j][x][y]表示考虑取区间i ~ j的方格，左右端点颜色分别是x, y.的最大值。 那么有如下转移 1,直接继承子区间的答案 f[i][j][x][
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 偶然翻到这道题，，，就写了。 观察到一个数被插在哪里只受前一个数的影响，如果明确了前一个数是哪个，那么我们就可以确定大小关系，就可以知道当前这个数插在哪里，而上一个插入的数就是上一个数，所以根据这个来设DP状态。 f[i][j]表示满足理想数列的i ~ j，且i是最后一个插
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 此题可以用可持久化并查集暴力水过，但正解是kruskal重构树。 不会kruskal重构树请戳：kruskal重构树 观察到车可以通过哪些边跟边的长度并没有关系，所以考虑用边的海拔排序建出重构树，这样我们就得到了一个只跟海拔相关的关系。 于是对于任意水位线，我们都可以得知，
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 挺好的一道题。 首先我们将所有边反向，跑出n到每个点的最短路，然后f[i][j]表示从i号节点出发，路径长比最短路大j的方案数。 观察到，如果图中出现了0环，那么我们可以通过在环上走无数次来获得无数条不同路径，因此这就无解了。 如果没有0环，当且仅当这张图的最短路图是一个D
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 表示今天做题一点都不顺。。。。 这题也是看了题解思路然后自己想转移的。 看的题解其实不是这道题，但是是这道题的加强版，因为那道题允许交换k对数。 因为我们选出的是连续的一段，所以假设我们选了某一段，那么原序列将会被分为3段，我们设这3段分别是第0段，第1段和第2段，我们假设
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摘要：~~~题面~~~ 题解： 因为数据范围不大，而且题目要求的是正方形，所以这道题有2种解法。 1，st表。 这种解法暴力好写好理解，但是较慢。我们设st[i][j][k]表示以(i, j)为左端点，向下/向右分别扩展$2^k$格的最大值，最小值同理，处理完后$n^2$枚举左端点取最优值即可。 （此为早
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 首先我们需要发现一个性质，在括号序列不变的情况下，括号匹配是不会变的，因此不论子串怎么取，括号匹配的关系是不会变化的。这是一个很容易发现的性质，然而我太弱，没发现。 于是可以据此进行DP，我们记录下每个右括号与哪个左括号进行匹配，记为pos[i], 设f[i]表示DP到i位
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 首先观察到题目要求的是合法回文串的个数，而回文串要求从前往后和从后往前是一样的，因此我们假设有两只猪，分别从左上和右下开始走，走相同的步数最后相遇，那么它们走的路能拼在一起构成一个回文串，当且仅当它们走字符串是完全相同的。 那么我们可以根据这个性质进行DP，设f[i][j]
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摘要：～～～题面～～～ 题解： 感到此题非常的神奇。。。看了大佬的题解才懂的。 首先建模： 先把所有队伍的出去回来时间都放在一个数组里，然后排序，从左到右扫一边，给每个队伍都建一个带权点，进行如下操作： （s表示出发，t表示回家， len表示两个点之间的时间差） 1，对于s > t的情况，如果两者属于一个
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