国王游戏

思路

假设当前一共有 \(2\) 名大臣，设第 i 个大臣左手右手的数分别为 \(a_i\) 和 \(b_i\)，其中 \(a_0, b_0\) 表示国王手上的数。

1. 先是一号大臣

则答案就是 $$ans_1 = \max(\frac{a_0}{b_1}, \frac{a_0a_1}{b_2})$$

2. 先是二号大臣

则答案为 $$ans_2 = \max(\frac{a_0}{b_2}, \frac{a_0a_2}{b_1})$$

其中可以发现 \(\frac{a_0}{b_2} < \frac{a_0a_1}{b_2}\)，\(\frac{a_0}{b_1} < \frac{a_0a_2}{b_1}\)。

假设 \(ans_1 < ans_2\)，那么可以分类讨论：

• \(ans_1 = \frac{a_0}{b_1}, ans_2 = \frac{a_0}{b_2}\)，即 \(\frac{a_0a_1}{b_2} < \frac{a_0}{b_1}\)，又因为 \(\frac{a_0}{b_1} < \frac{a_0}{b_2} < \frac{a_0a_1}{b_2}\)，矛盾。

• \(ans_1 = \frac{a_0}{b_1}, ans_2 = \frac{a_0a_2}{b_1}\)，不需要任何约束条件。

• \(ans_1 = \frac{a_0a_1}{b_2}, ans_2 = \frac{a_0}{b_2}\)，即 \(\frac{a_0a_1}{b_2} < \frac{a_0}{b_2}\)，推出 \(a_1b_1 < a_2b_2\)。

• \(ans_1 = \frac{a_0a_1}{b_2}, ans_2 = \frac{a_0a_2}{b_1}\)，即 \(\frac{a_0a_1}{b_2} < \frac{a_0a_2}{b_1}\)，也可以推出 \(a_1b_1 < a_2b_2\)。

综上，按照 \(a_ib_i\) 从小到大排序肯定是最优的。