A Twisty Movement

简化题目

给定一个有 \(1\)，\(2\) 两个数字组成的数组中，选择一个子串，将 \(1\) 变成 \(2\)，将 \(2\) 变成 \(1\)，求出变化后的序列的最长上升子序列。

思路

简单的情况

如果没有变换操作，题目就变成了一个简单的最长上升子序列问题，答案一定为

\[[1...1][2...2] \]

这种形式，设 \(f[i][1/2]\) 表示前 \(i\) 个数中，以 \(1\) 或 \(2\) 这两个数字结尾的最长上升子序列。

转移为

\[f[i][1] = f[i-1][1] + (a[i] == 1) \]

\[f[i][2] = \max(f[i][1], f[i-1][2] + (a[i] == 2)) \]

题目转换

再考虑题目中的变换操作，可以知道这次的操作一定会对答案造成一定的变化，要不然这次的转换一定是无用的，不优的，考虑怎么翻转至 \([1...1][2...2]\) 这种状态。

1. 在 \([1...1]\) 这个区间内翻转，有 \([2...2][1...1][2...2]\) 这种情况，\([1...1]\) 长度可能为零
2. 在 \([2...2]\) 这个区间内翻转，有 \([1...1][2...2][1...1]\) 这种情况，\([2...2]\) 长度可能为零
3. 在 \([1...1][2...2]\) 中间翻转，先将 \([1...1][2...2]\) 划分成 \([1...1][1...1][2...2][2...2]\)，再将中间的 \([1...1][2...2]\) 翻转成 \([2...2][1...1]\)，变成了 \([1...1][2...2][1...1][2...2]\) 这种情况，其中中间的 \([2...2][1...1]\) 长度可能为零

由于长度都有可能为零，将这三种情况合并成一种，用 $$[1...1][2...2][1...1][2...2]$$ 表示，其中每一段都可以为空。

现在就可以 dp 了。

• 状态：
  \(f[i][j]\) 表示以i为结尾的前 \(j + 1\) 段的最长满足条件的序列长度。

• 转移：

1. \(f[i][0] += (a[i] == 1)\)
2. \(f[i][1] = max(f[i][0], f[i-1][1] + (a[i] == 2))\)
3. \(f[i][1] = max(f[i][1], f[i-1][2] + (a[i] == 1))\)
4. \(f[i][1] = max(f[i][2], f[i-1][3] + (a[i] == 2))\)

• 答案：
  输出 \(f[n][4]\) 即可。

代码

int main() {

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a; scanf("%d", &a);
        f[i][0] = f[i - 1][0] + (a == 1);
        f[i][1] = max(f[i][0], f[i-1][1] + (a == 2));
        f[i][2] = max(f[i][1], f[i-1][2] + (a == 1));
        f[i][3] = max(f[i][2], f[i-1][3] + (a == 2));
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    	ans = max(ans, f[i][3]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

个人反思

考试的思路

这道题在考试过程中，没有反应出最长上升子序列的模型，没有想到可以用动态规划的方式来解决，重点放在了区间的转换上和贪心，导致没能想出这道题目正确的解法。

怎么改正

1. 问题转化：以后再看到 最长上升子序列 最长不下降子序列时等经典dp模型时要快速的明确这题的主体算法是动态规划，并将其转换为动规模型，其他算法也是如此。
2. 算法思考：一定不要用同一个算法想太久，如果行不通要换一种算法在想想。