2026/04/18 模拟赛总结

NOIP 模拟赛第二场

分数：\(20+90+80+0=190\)，排名 \(2/12\)。

T1

题目大意：

给定一个 \(n\) 点 \(m\) 边无自环的图，每个点度数最多为 \(3\)，求一种染色方案（\(1\) 为白色，\(0\) 为黑色），使得不存在长度为 \(3\) 的链使得经过的每个点颜色相同。

\(n \le 2 \times 10^5,m \le 3 \times 10^5\)

思路分析：

拿到题发现完全不会做。

开始我还以为每个联通块必然会是一条长链加上几条边，然而我很快发现我错了，二叉树就是一个反例。

然后又发现二叉树还可以变异，根节点也可以有三个儿子。

所以普通路径是完全走不动了，想了1h未果，最后写的神秘暴力。

所以我们直接看正解。要想不存在长度为 \(3\) 的同色简单路径，可以怎么样？

很简单，将中间那个结点变色即可。

又中间结点度数最多为 \(3\)，所以我们此时这个结点的异色邻居至少会减少 \(1\)，所以这次操作显然是不劣的。

所以你就一直找一个有至少两个同色邻居的点，然后替换颜色，达到一定次数后你就可以找到一个可行解了。

for(int i = 1;i <= n * 10;i ++)
{
	int pd = i % n + 1,pp = 0;
	for(int j = 0;j < ve[pd].size();j ++)pp += ans[ve[pd][j]] == ans[pd];
	if(pp > 1)ans[pd] ^= 1;
}

只能说这设计也是很巧妙了，反正我没见过这样的 T1，也想不到。

T2

题目大意：

有一个 \(2 \times n\) 的矩阵 \(a\)，\(1 \sim 2n\) 恰好在 \(a\) 中出现一次，每次可以将一个 \(2 \times 2\) 的正方格翻转 \(180^\circ\)，问经过若干次操作后能不能变成 \(2 \times n\) 的矩阵 \(b\)（无解输出 \(-1\)），如果能还要输出最少操作次数。

\(n \le 5 \times 10^5\)。

思路分析：

最好做的一道题。

首先不难发现即使翻转 \(180^\circ\) 等价于交换了其中的相邻两列并交换上下两个数。

所以 \(n\) 列的两个数对显然不会改变，改变了就输出 \(-1\)。

又不难发现当且仅当一列的移动次数为奇数次时上下两个数会颠倒，否则不会。如果不满足条件的依然输出 \(-1\)。

这样我们就将两个数组变成了一个数组：每次操作为交换相邻两个数。

这不就变成了逆序对板子题吗。于是重标号，用树状数组维护。

赛后反思：

不难发现我没有满分

因为数组开小了，数的范围可以到 \(10^6\)，但我只开了 \(5 \times 10^5\)。

哎，又挂分了。下次注意吧。

此题只有 \(2\) 人满分也是震惊到我了。这题不是挺好想的吗。

T3

题目大意：

你有一个只含 T 和 O 的 \(n \times n\) 的字符矩阵，你需要用若干矩形将所有 T 全部框柱，代价是矩形的长与宽最大值之和，求最小代价。

\(n \le 60\)

思路分析：

这题显然乱搞能拿很多分，不难发现如果数据完全随机最后一定输出 \(n\)。事实上直接输出 \(n\) 都有 \(40+\) 分。

而我还将其拆分成了四个子矩阵相加求得答案，那么就更精确了，于是就变成了乱搞 \(80\)。

赛后再乱搞甚至就 A 了。

不过显然不应讲错解

正解：按照上面的思路，不难发现一个矩阵答案要么直接算，要么拆分成两个子矩阵答案之和。所以设 \(dp_{i,j,k,l}\) 表示左上 \((i,j)\)，右下 \((k,l)\) 的矩阵的答案最小值，首先用之前转移的信息求出不分割时的最小值，然后再分割成两个子矩阵进行转移，当然转移顺序应按照矩阵大小顺序进行转移。不难发现转移只有 \(n\) 次，所以复杂度就是 \(\mathcal{O}(n^5)\)，但是常数较小可以卡过。

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T4 不可做题，所以就不写了，但是暴力分 \(30pts\) 有 \(4\) 个人写了出来，没有拿到，比较可惜。

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综上，这场模拟赛难度比上场要简单， \(300 pts\) 是有可能的，需要继续把握住机会，在能拿分的地方尽可能拿分，不挂分，分析透问题的本质。