P1224 [NOI2013] 向量内积 解题报告
P1224 [NOI2013] 向量内积 解题报告
题意分析
这道题要求我们在 \(n\) 个 \(d\) 维向量中，找出两个不同的向量 \(x_p\) 和 \(x_q\)，使得它们的内积是 \(k\) 的倍数。用数学语言来说，就是找到 \(p < q\)，满足 \((x_p, x_q) \pmod k = 0\)。
一个最直接的想法是暴力枚举所有可能的向量对 \((x_p, x_q)\)，计算它们的内积，然后判断是否是 \(k\) 的倍数。这种方法的时间复杂度是 \(O(n^2 d)\)。考虑到 \(n\) 的最大值可以达到 \(10^5\)， \(n^2\) 已经是一个非常大的数字了，所以暴力解法肯定会超时，我们需要更高效的算法。
题解的思路非常巧妙，它利用了线性代数和随机化的思想，并根据 \(k\) 的取值（\(k=2\) 或 \(k=3\)）采用了不同的策略。
核心思路：将问题转化为矩阵运算
我们可以将这 \(n\) 个 \(d\) 维向量看作一个 \(n \times d\) 的矩阵 \(A\)，其中第 \(i\) 行就是向量 \(x_i\)。
现在，让我们考虑矩阵 \(A\) 和它的转置矩阵 \(A^T\)（一个 \(d \times n\) 的矩阵）相乘的结果。令 \(B = A \times A^T\)。\(B\) 是一个 \(n \times n\) 的矩阵。
\(B\) 矩阵中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素 \(B_{ij}\) 是如何计算的呢？根据矩阵乘法法则，它等于 \(A\) 的第 \(i\) 行与 \(A^T\) 的第 \(j\) 列的点积。而 \(A^T\) 的第 \(j\) 列恰好就是 \(A\) 的第 \(j\) 行（也就是向量 \(x_j\)）。
所以，我们得到了一个惊人的结论：\(B_{ij} = (x_i, x_j)\)。
这样一来，原问题“是否存在 \((x_p, x_q)\) 的内积是 \(k\) 的倍数”就等价于“在模 \(k\) 意义下，矩阵 \(B\) 是否存在一个非对角线元素 \(B_{pq}\) (其中 \(p \neq q\)) 为 0”。
直接计算 \(n \times n\) 的矩阵 \(B\) 仍然需要 \(O(n^2 d)\) 的时间，我们还是没有取得进展。但这个转化是后续所有优化的基础。接下来的关键是，我们并不需要计算出整个矩阵 \(B\)，而是只需要检验它是否具有我们想要的性质。这里，随机化算法就派上了用场。
Case 1: 当 \(k=2\) 时
当 \(k=2\) 时，所有计算都在模 2 意义下进行。
1. “无解”的情况长什么样？
如果没有解，意味着对于所有 \(p \neq q\)，都有 \((x_p, x_q) \not\equiv 0 \pmod 2\)。在模 2 的世界里，不等于 0 就意味着等于 1。所以，如果无解，矩阵 \(B\) 在模 2 意义下，所有非对角线元素都应该是 1。
2. 随机化检验
我们如何快速检查 \(B\) 是否具有“所有非对角线元素都为1”这个性质呢？
我们可以随机生成一个 \(n \times 1\) 的列向量 \(R\)（也叫作 \(n\) 维向量），其中每个元素随机取 0 或 1。然后我们计算 \(C = B \times R\)。
想象一下，如果矩阵 \(B\) 的第 \(i\) 行所有元素都是 1，那么 \(C\) 的第 \(i\) 个元素 \(C_i = \sum_{j=1}^n B_{ij}R_j = \sum_{j=1}^n 1 \cdot R_j\)。这个结果就等于向量 \(R\) 中所有元素的和（记为 \(S\)）。
如果对于某个 \(i\)，\(C_i\) 的值不等于 \(S\)，就说明 \(B\) 的第 \(i\) 行并不全是 1，即一定存在某个 \(j\) 使得 \(B_{ij}=0\)。由于我们只关心 \(p \neq q\) 的情况，只要能找到这样一个 \(i\)，我们就很有可能找到了解。
3. 高效计算与定位
- 计算 \(C = B \times R\): 我们并不需要先算出 \(B\)。利用矩阵乘法的结合律，我们可以这样计算：\(C = (A \times A^T) \times R = A \times (A^T \times R)\)。
- 计算 \(R' = A^T \times R\)：\(A^T\) 是 \(d \times n\) 矩阵, \(R\) 是 \(n \times 1\) 向量, 结果 \(R'\) 是 \(d \times 1\) 向量。耗时 \(O(nd)\)。
- 计算 \(C = A \times R'\)：\(A\) 是 \(n \times d\) 矩阵, \(R'\) 是 \(d \times 1\) 向量, 结果 \(C\) 是 \(n \times 1\) 向量。耗时 \(O(nd)\)。
- 整个检验过程的复杂度只有 \(O(nd)\)，非常高效。
4. 算法流程
- 将所有输入向量的元素值对 \(k=2\) 取模。
- 进行多次随机检验（例如 10 次，以提高正确率）。
- 在每次检验中：
a. 随机生成一个 \(n\) 维的 0/1 向量 \(R\)。
b. 计算 \(S = \sum_{j=1}^n R_j \pmod 2\)。
c. 通过 \(C = A \times (A^T \times R)\) 计算出结果向量 \(C\)。
d. 检查是否存在某个 \(i\)，使得 \(C_i \pmod 2 \neq S \pmod 2\)。（注：代码中的判断条件R.a[i][1] != sum是一种等价但更简洁的判断方式，它同样能有效地筛选出“有问题”的行）。
e. 如果找到了这样的 \(i\)，说明第 \(i\) 个向量 \(x_i\) 和其他某个向量的内积为 0。这时我们就可以花 \(O(nd)\) 的时间，暴力计算所有 \((x_i, x_j)\) (其中 \(j \neq i\))，找到那个使内积为 0 的 \(x_j\)，输出 \(i, j\) 并结束程序。 - 如果多次检验都没有发现异常，我们就认为不存在这样的向量对，输出
-1 -1。
Case 2: 当 \(k=3\) 时
当 \(k=3\) 时，模 2 下的性质 \(x^2 \equiv x\) 不再成立。但我们有另一个非常有用的性质：在模 3 意义下，任何非零数的平方都等于 1（\(1^2=1\), \(2^2=4 \equiv 1 \pmod 3\)）。
1. 思路转换
原问题是找 \(B_{pq} \equiv 0 \pmod 3\)。
利用新性质，这个问题等价于找 \((B_{pq})^2 \equiv 0 \pmod 3\)。
如果无解，则对于所有 \(p \neq q\)，\(B_{pq}\) 不为 0，那么 \((B_{pq})^2\) 必然为 1。
这样，我们又回到了一个类似 \(k=2\) 的情况：如果无解，一个新矩阵 \(B'\)（其中 \(B'_{ij} = (B_{ij})^2\)）的非对角线元素将全为 1。
2. 随机化检验
我们同样可以随机一个 \(n\) 维向量 \(r\)（元素为0, 1, 2），然后去检验一个等式：
对于所有 \(i\)，是否都有 \(\sum_{j=1}^n (B_{ij})^2 r_j \equiv \sum_{j=1}^n r_j \pmod 3\)？
如果对于某个 \(i\) 不成立，说明 \(B\) 的第 \(i\) 行和某个 \(j\) 的内积 \(B_{ij}\) 为 0。
3. 高效计算与定位
- 计算 \(\sum_{j=1}^n (B_{ij})^2 r_j\): 这个式子看起来很复杂，但它恰好是某个复杂矩阵乘积的对角线元素。具体来说，它是矩阵 \(B \times \text{diag}(r) \times B^T\) 的第 \(i\) 个对角线元素。（其中 \(\text{diag}(r)\) 是一个对角矩阵，对角线上是向量 \(r\) 的元素）。
- 我们可以利用结合律来高效计算它：
- 令 \(M = A^T \times \text{diag}(r) \times A\)。\(M\) 是一个 \(d \times d\) 的小矩阵。
- \(\text{diag}(r) \times A\) 的计算很简单，就是把 \(A\) 的第 \(j\) 行整体乘以 \(r_j\)。
- 计算 \(M\) 的总时间是 \(O(nd^2)\)。
- 我们想求的量是 \(B \text{diag}(r) B^T = (A A^T) \text{diag}(r) (A A^T) = A \times M \times A^T\) 的对角线。
- \(A \times M \times A^T\) 的第 \(i\) 个对角线元素是 \(A\) 的第 \(i\) 行 \(\times M \times A^T\) 的第 \(i\) 列（也就是 \(A\) 的第 \(i\) 行的转置）。计算一个这样的元素需要 \(O(d^2)\)。
- 计算所有 \(n\) 个对角线元素，总时间是 \(O(nd^2)\)。
- 令 \(M = A^T \times \text{diag}(r) \times A\)。\(M\) 是一个 \(d \times d\) 的小矩阵。
- 整个检验过程的复杂度为 \(O(nd^2)\)。对于本题数据范围，\(nd^2\) 是可以接受的。
4. 算法流程
与 \(k=2\) 类似：
- 将所有输入向量的元素值对 \(k=3\) 取模。
- 多次随机检验。
- 每次检验：
a. 随机生成 \(n\) 维向量 \(r\)。
b. 计算 \(S = \sum r_j \pmod 3\)。
c. 高效计算出所有对角线元素 \(V_i = (\text{第 i 个对角线元素}) \pmod 3\)。
d. 检查是否存在 \(i\) 使得 \(V_i \neq S\)。
e. 若存在，则暴力检查 \(x_i\) 与所有其他向量的内积，找到解并输出。 - 若多次检验都未成功，则输出
-1 -1。
总结
本题的解法是随机化算法在信息学竞赛中的一个经典应用。通过将问题巧妙地转化为矩阵性质的检验，并利用矩阵乘法的结合律和特定模数下的数学性质，我们将一个看似 \(O(n^2d)\) 的问题，根据 \(k\) 的不同，分别用 \(O(nd)\) 和 \(O(nd^2)\) 的高效随机算法解决。这种“不直接求解，而是高效验证”的思想，在处理大规模数据时非常有用。
浙公网安备 33010602011771号