P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm 解题报告

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解题报告: P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm

1. 问题分析与转化

题目核心

我们需要找到满足以下两个条件的、长度为 \(n\) 的序列 \(A = (a_1, a_2, \cdots, a_n)\) 的数量：

1. 最大公约数 gcd(A) = x
2. 最小公倍数 lcm(A) = y

初步观察

• 既然序列的最大公约数是 \(x\)，那么序列中的每一个数 \(a_i\) 都必须是 \(x\) 的倍数。
• 既然序列的最小公倍数是 \(y\)，那么序列中的每一个数 \(a_i\) 都必须是 \(y\) 的约数。
• 综合这两点，每个 \(a_i\) 既是 \(x\) 的倍数也是 \(y\) 的约数。这也意味着 \(x\) 必须是 \(y\) 的约数（即 \(y\) 能被 \(x\) 整除）。题目保证了有解，所以这个条件一定成立。

关键转化

为了简化问题，我们对序列中的每个数 \(a_i\) 都除以 \(x\)。设一个新的序列 \(B = (b_1, b_2, \cdots, b_n)\)，其中 \(b_i = \frac{a_i}{x}\)。现在我们来分析新序列 \(B\) 需要满足什么条件：

1. 最大公约数条件：
   gcd(a_1, ..., a_n) = gcd(x*b_1, ..., x*b_n) = x * gcd(b_1, ..., b_n) = x
   这要求 gcd(b_1, ..., b_n) = 1。

2. 最小公倍数条件：
   lcm(a_1, ..., a_n) = lcm(x*b_1, ..., x*b_n) = x * lcm(b_1, ..., b_n) = y
   这要求 lcm(b_1, ..., b_n) = y / x。

现在，原问题就成功转化为了一个更简洁的新问题：
求有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(B\)，使得其最大公约数为 \(1\)，最小公倍数为 \(y/x\)。

2. 核心思想：质因数分解

处理 gcd 和 lcm 问题，最强大的工具就是质因数分解。这是因为一个数的 gcd 和 lcm 可以通过它每个质因子的指数来独立确定。

• gcd 取的是各数质因子指数的最小值。
• lcm 取的是各数质因子指数的最大值。

我们令 \(t = y/x\)，并对 \(t\) 进行质因数分解：\(t = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}\)。

对于序列 \(B\) 中的每一个数 \(b_i\)，我们也可以分析其质因子的指数。对于 \(t\) 的任意一个质因子 \(p_j\)，我们设 \(e_{ij}\) 为 \(p_j\) 在 \(b_i\) 中的指数。

那么，新问题的两个条件可以被分解到每一个质因子上：

1. gcd(B) = 1 \(\implies\) 对于任意质因子 \(p_j\)，指数的最小值为 0。即 min(e_{1j}, e_{2j}, ..., e_{nj}) = 0。
2. lcm(B) = t \(\implies\) 对于任意质因子 \(p_j\)，指数的最大值为 \(k_j\)。即 max(e_{1j}, e_{2j}, ..., e_{nj}) = k_j。

由于每个质因子 \(p_j\) 的指数如何分配是相互独立的，我们可以分别计算出满足条件的指数分配方案数，然后将它们全部乘起来，得到最终答案。

3. 单个质因子的求解：容斥原理

现在，我们只关注一个质因子，比如 \(p_1\)（为了方便，我们简写为 \(p\)），它在 \(t\) 中的指数是 \(k_1\)（简写为 \(k\)）。
我们需要为序列 \(b_1, \dots, b_n\) 分配 \(p\) 的指数 \(e_1, \dots, e_n\)。

由于每个 \(b_i\) 都必须是 \(t\) 的约数，所以 \(p\) 在 \(b_i\) 中的指数 \(e_i\) 只能取 0, 1, ..., k 之间的一个整数。

我们的目标是找到满足下面两个条件的指数序列 \((e_1, \dots, e_n)\) 的数量：

1. 至少有一个 \(e_i = 0\) (保证 gcd 对应的质因子指数为0)
2. 至少有一个 \(e_i = k\) (保证 lcm 对应的质因子指数为k)

直接计算满足 "至少..." 的问题比较复杂，我们可以使用容斥原理，通过计算其反面来求解。

• 总情况数 (无任何限制):
  每个 \(e_i\) 都有 \(k+1\) 种选择（从 \(0\) 到 \(k\)），共 \(n\) 个数，所以总方案数是 \((k+1)^n\)。

• 不满足条件1的情况 (破坏gcd):
  即 "没有一个 \(e_i=0\)"，等价于 "所有 \(e_i > 0\)"。
  此时每个 \(e_i\) 的取值范围是 \([1, k]\)，共 \(k\) 种选择。方案数为 \(k^n\)。

• 不满足条件2的情况 (破坏lcm):
  即 "没有一个 \(e_i=k\)"，等价于 "所有 \(e_i < k\)"。
  此时每个 \(e_i\) 的取值范围是 \([0, k-1]\)，共 \(k\) 种选择。方案数为 \(k^n\)。

• 同时不满足条件1和2的情况:
  即 "所有 \(e_i > 0\)" 且 "所有 \(e_i < k\)"。
  此时每个 \(e_i\) 的取值范围是 \([1, k-1]\)，共 \(k-1\) 种选择。方案数为 \((k-1)^n\)。

根据容斥原理，我们想要的答案是：
总数 - (不满足1) - (不满足2) + (同时不满足1和2)
即：

\[(k+1)^n - k^n - k^n + (k-1)^n = (k+1)^n - 2 \cdot k^n + (k-1)^n \]

这就是对于单个质因子 \(p\)，其指数的合法分配方案数。

4. 算法实现与总结

综合以上分析，我们的解题步骤如下：

1. 读入 \(x, y, n\)。
2. 计算 \(t = y/x\)。
3. 对 \(t\) 进行质因数分解，得到所有的质因子 \(p_i\) 及其指数 \(k_i\)。
   • 例如，如果 \(t=12=2^2 \cdot 3^1\)，我们得到 (p=2, k=2) 和 (p=3, k=1)。
4. 初始化答案 ans = 1。
5. 遍历每一个质因子的指数 \(k_i\)：
   • 根据容斥原理公式，计算出该质因子的贡献：count_i = ((k_i+1)^n - 2*k_i^n + (k_i-1)^n)。
   • 因为 \(n\) 很大，计算幂次需要使用快速幂算法。
   • 在计算过程中要时刻对 \(998244353\) 取模。特别注意，减法可能产生负数，需要 (a - b + MOD) % MOD 来保证结果为正。
   • 将这个贡献乘到最终答案中：ans = (ans * count_i) % MOD。
6. 输出最终的 ans。

代码实现细节

• getprime(y/x) 函数负责对 \(y/x\) 进行质因数分解，它只需要记录下每个质因子的指数 \(k_i\) 即可，质因子本身是什么不重要。
• qpow(base, exp) 函数是标准的快速幂模板，用于高效计算 \(base^{exp} \pmod{MOD}\)。
• 主函数循环处理每个询问，按照上述算法流程计算答案。每次循环开始时，注意清空上一次质因数分解的结果。

这个解法的时间复杂度主要瓶颈在于质因数分解，为 \(O(\sqrt{y/x})\)。由于 \(y/x \le 10^9\)，这个复杂度是完全可以接受的。