P9179 [COCI 2022/2023 #5] Logaritam 解题报告
P9179 [COCI 2022/2023 #5] Logaritam 解题报告
前言
大家好！今天我们来解析一道很有趣的数论问题 P9179 Logaritam。这道题的核心是理解“对数序列”的性质，并运用这个性质来解决问题。题目看起来可能有些抽象，但只要我们抓住关键，问题就会变得非常清晰。
首先，我们来回顾一下题目的核心。一个“对数序列” a 必须满足 a[x*y] = a[x] + a[y]。现在，某个序列的 a[x] 被修改了，我们不能再动它，但可以修改其他元素。我们的目标是用最少的修改次数，让这个序列重新成为一个合格的“对数序列”。
一个非常重要的提示是：最终需要修改的元素数量，与序列里原来的具体数值（比如 π、0.7）无关，只与被修改元素的下标 x 和序列长度 n 有关。 这让我们能抛开具体数值，专注于下标之间的数学关系。
核心思路分析
1. 从基本性质入手：a[1] 的特殊性
让我们从最简单的关系开始。根据对数序列的定义，对于任意的 i，我们都有：
a[i] = a[1 * i] = a[1] + a[i]
从这个等式中，两边消去 a[i]，我们立即得到一个至关重要的结论：
a[1] = 0
在任何一个合法的对数序列中，第一个元素 a[1] 的值必须是 0。
现在，考虑题目中的情况：如果被修改的元素恰好是 a[1]（即 x=1），那么它的值就不再是 0 了。而题目规定，我们不能改动这个已经被修改过的元素。这意味着 a[1] 的值将永远无法变回 0。既然 a[1]=0 是成为对数序列的必要条件，那么当 x=1 时，无论我们怎么修改其他元素，这个序列都无法被修复。
结论一：如果被修改的下标 x=1，则无解，应输出 -1。
2. 寻找问题的根源：一切源于质因数
当 x > 1 时，情况又如何呢？
一个正整数 k 可以被分解为质因数的乘积，例如 12 = 2 * 2 * 3。利用对数序列的性质，我们可以推导出：
a[12] = a[2 * 6] = a[2] + a[6]
a[12] = a[2] + a[2 * 3] = a[2] + a[2] + a[3] = 2 * a[2] + a[3]
这说明，任何一个 a[k] 的值，最终都可以由它的质因数所对应的 a 值相加得到。我们可以把 a[p]（其中 p 是质数）看作是构成整个序列的“基本积木”。
现在，a[x] 的值被强制修改了。这意味着 a[x] 与它的质因数对应的 a 值之间的关系 a[x] = a[p1] + a[p2] + ... 被打破了。为了让等式重新成立，我们必须修改等式右边的某些项，也就是修改 a[p]（p 是 x 的质因数）的值。
3. 贪心选择：如何最小化连锁反应？
我们必须修改至少一个 x 的质因数对应的 a[p] 的值。但是，修改任何一个 a[p] 都会引发“连锁反应”。
比如，如果我们决定修改 a[p] 的值，那么所有以 p 为因数的数 k（即 p 的所有倍数），它们的 a[k] 值都会受到影响，因为 a[k] 的计算公式里包含了 a[p]。这些受影响的 a 值都必须被相应地更新，才能维持整个序列的对数性质。
举个例子，如果我们修改了 a[3]，那么 a[6] (=a[2]+a[3])、a[9] (=a[3]+a[3])、a[12] (=a[4]+a[3]) 等等，所有 a[k] 其中 k 是 3 的倍数，都得跟着改。
我们需要修改的元素数量，就是 p 在 1 到 n 之间的倍数的数量。这个数量等于 floor(n / p)（floor 表示向下取整）。
我们的目标是最小化修改次数，也就是最小化 floor(n / p)。要让这个值变小，分母 p 就必须尽可能大。
因此，我们的贪心策略是：在 x 的所有质因数中，选择那个最大的质因数 p_max，然后只修改 a[p_max] 的值，并更新由它引发的所有连锁改动。这样选择能保证总的修改数量最少。
4. 计算最终答案
我们已经确定了最佳策略：找到 x 的最大质因数 p_max，然后修改所有 p_max 的倍数位置上的元素。
需要修改的元素总数是 p_max 在 1 到 n 范围内的倍数个数，即 n / p_max。
但是，题目有一个限制：我们不能修改 a[x]。恰好，x 本身就是 p_max 的一个倍数（因为 p_max 是 x 的因数）。所以，在所有需要修改的 n / p_max 个元素中，a[x] 是其中之一。由于我们不能动它，所以实际需要我们动手修改的其他元素数量就是 (n / p_max) - 1。
结论二：当 x > 1 时，答案为 (n / p_max) - 1，其中 p_max 是 x 的最大质因数。
举例说明
让我们用 n=6, q=6 的样例来验证一下：
-
x = 4:
4的质因数只有2。最大质因数p_max = 2。- 需要修改的元素是
2的倍数：a[2], a[4], a[6]。共6/2 = 3个。 a[4]不能动，所以我们实际要改a[2]和a[6]。- 修改数量 =
3 - 1 = 2。 (与样例输出一致)
- 需要修改的元素是
-
x = 6:
6的质因数是2和3。最大质因数p_max = 3。- 需要修改的元素是
3的倍数：a[3], a[6]。共6/3 = 2个。 a[6]不能动，所以我们实际要改a[3]。- 修改数量 =
2 - 1 = 1。 (与样例输出一致)
- 需要修改的元素是
-
x = 5:
5本身是质数。最大质因数p_max = 5。- 需要修改的元素是
5的倍数：a[5]。共6/5 = 1个。 a[5]不能动。- 修改数量 =
1 - 1 = 0。 (与样例输出一致)
- 需要修改的元素是
算法实现与复杂度
根据上面的分析，我们的算法步骤非常清晰：
- 对于每个查询的
x： - 如果
x = 1，输出-1。 - 如果
x > 1，计算x的最大质因数p_max。 - 输出
n / p_max - 1。
核心问题变成了如何高效地找到一个数 x 的最大质因数。我们可以使用经典的试除法：
- 从
i = 2开始，循环到i*i <= x。 - 如果
i能整除x，说明i是一个质因数。我们记录下i，然后把x中所有的因子i都除掉（while (x % i == 0) x /= i;）。 - 循环结束后，如果
x仍然大于1，说明剩下的x本身就是一个大于sqrt(原始x)的质数，它必然是最大的质因数。
复杂度分析：
- 时间复杂度：对于每个查询，我们需要对
x进行质因数分解，最坏情况下时间复杂度为O(sqrt(x))。由于x最大可达n，所以单次查询是O(sqrt(n))。总共有q次查询，所以总时间复杂度是O(q * sqrt(n))。在n=10^8,q=10^4的数据规模下，10^4 * sqrt(10^8) = 10^4 * 10^4 = 10^8，可以在规定时间内完成。 - 空间复杂度：我们只需要几个变量来存储中间结果，所以是
O(1)。
代码解析
#include <iostream>
// 使用 long long 是一个好习惯，可以避免在某些情况下发生整数溢出
#define int long long
using namespace std;
int n, q, x;
signed main() {
// 加速 C++ 的输入输出
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> q;
while (q--) {
cin >> x;
// 特判 x=1 的无解情况
if (x == 1) {
cout << -1 << '\n';
continue; // 处理下一个查询
}
int maxt = 0; // 用来存储找到的最大质因数
// 试除法找最大质因数
// 循环到 i*i <= x 即可
for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0) {
maxt = i; // i 是一个质因数，更新 maxt
// 把 x 中所有的因子 i 都除掉，以加速后续计算
while (x % i == 0) {
x /= i;
}
}
}
// 循环结束后，如果 x 还大于 1，说明剩下的 x 是一个大质数
// 并且它一定是最大的质因数
if (x != 1) {
maxt = x;
}
// 输出答案：(n / maxt) - 1
// (n - maxt) / maxt 在整数除法下等价于 n / maxt - 1
cout << (n - maxt) / maxt << '\n';
}
return 0;
}
希望这份解题报告能帮助你彻底理解这道题目！
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