P11160 機械生命体 解题报告

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P11160 機械生命体 解题报告

1. 题意化简

首先，我们用更直白的话来描述这道题的目标。我们需要维护一个数字集合，并实现四种功能：

• 操作1/2：向集合里加一个数或删一个数。这是基本操作。
• 操作4：给定一个数 x，在集合中找一个数 y，让 x 和 y 的二进制表示从右往左（从低位到高位）有尽可能多的连续相同位。我们要输出这个“最长相同后缀”的长度所代表的值。
  • 例如，x=10 (1010b), y=2 (0010b)。它们从右往左看，...0010 和 ...1010，低三位 010 是相同的，直到第3位（从0开始数）才不同。所以 lowbit(x XOR y) 的结果是 2^3 = 8。我们的目标就是最大化这个值。
• 操作3：给定 x, k, v。找到集合里所有满足“低 k 位和 x 完全相同”的数 y，然后把它们都加上 v。

2. 核心工具：01-Trie（字典树）

处理位运算问题，尤其是涉及前后缀匹配的，01-Trie 是一个非常强大的工具。

• 建树方式：这道题的关键在于低位。无论是操作3还是操作4，条件都和“低位匹配”有关。因此，我们建立一棵从低位到高位的01-Trie。树的第 d 层节点，代表的是数字的第 d 位。
• 节点信息：每个节点需要记录一个 size，表示有多少个集合中的数字的二进制路径经过了此节点。

3. 操作实现

操作 1 & 2：插入与删除

这是最基础的Trie操作。我们从根节点（代表第0位）开始，根据要插入/删除的数 x 的每一位，选择走左儿子（0）还是右儿子（1），并更新路径上所有节点的 size 值。

操作 4：查询最大lowbit

这个操作在我们的Trie上变得非常直观。我们的目标是找到一个与 x 低位匹配最长的 y。

• 贪心策略：我们从根节点（第0位）出发，严格按照 x 的二进制位往下走。比如 x 的第 d 位是0，我们就尝试往左子树走。
• 寻找分叉点：只要路径上对应子树的 size > 0，就说明集合中存在至少一个数，在这一位上和 x 是相同的。我们就继续往下走。
• 找到答案：当我们走到第 d 层，发现 x 对应的下一个子节点 size 为0时，这意味着什么？这意味着所有与 x 低 d-1 位都匹配的数，在第 d 位上都与 x 不同。因此，d 就是 x 和集合中某些 y 第一个不同的位。所以最大 lowbit 值就是 2^d。

简单来说：顺着 x 的位路径在Trie上走，第一个走不通（size=0）的深度 d，就是答案的指数，结果为 2^d。

操作 3：条件批量加 v（难点）

这是本题最复杂的部分。我们需要对所有低 k 位与 x 相同的数 y，执行 y = y + v。

难点分析：加法操作会产生进位，这会彻底改变一个数的二进制结构，直接在Trie上修改非常困难。例如 7 (0111b) + 1 = 8 (1000b)，低位全变了。

解决方案：懒标记 (Lazy Tag)

我们不在访问时立刻执行加法，而是在节点上打一个“待办事项”标记。

1. 定位子树：首先，所有低 k 位与 x 相同的数，在我们的Trie上都聚集在同一个子树里。我们可以沿着 x 的低 k 位路径走 k 步，找到这个子树的根节点。

2. 子树整体加 v：现在问题简化为：如何让一个Trie子树里的所有数都加上 v？

   • 引入 tag：我们在每个节点上增加一个 tag 值。node.tag = T 的意思是：“凡是路径经过此节点的数，最终的值都要额外加上 T”。
   • 下放标记 pushdown：当我们真正需要访问一个节点的子节点时，我们才处理它的 tag。
     • 处理奇数部分 +1：如果 tag 是奇数，我们先处理 +1。一个数 n 加 1：如果 n 的最低位是0，就变成1；如果最低位是1，就变成0并向上进位1。在Trie上，这表现为交换左右子节点，并且给那个原本代表奇数的子树（现在是左子树了）的tag再加1（处理进位）。
     • 处理偶数部分 +2m：tag 剩下的偶数部分 2m，下放到子节点就变成了 +m。这是因为 (数/2) + m 正好对应下一层的加法。所以，我们把 tag/2 的值分别加到左右子节点的 tag 上。

3. 最终实现 solve 函数：题解的代码非常巧妙，它把 y+v 这个操作分为两步：

   • A. 处理低 k 位变化：y 的低 k 位本来和 x 一样，加上 v 后，它的新低 k 位会变成 (x_low_k + v)_low_k。这在Trie上表现为整个子树要从旧路径移动到新路径。solve 函数通过递归，将子树从原路径上“剪切”下来，“粘贴”到新路径上。
   • B. 处理高位进位：低 k 位的加法完成后，可能会产生一个进位，值为 (x_low_k + v) >> k。这个进位会影响到第 k 位及更高的位。我们将这个进位值作为一个懒标记 tag，打在刚刚移动完成的子树的根节点上。
   • 合并 merge：由于移动后的新路径上可能已经有别的数存在，我们需要将移过来的子树与新路径上已有的节点进行合并（类似于线段树合并）。

总结

本题的解法可以概括为以下几个关键点：

1. 低位到高位Trie：完美契合题目中对低位匹配的要求。
2. 查询的贪心思想：沿着 x 的路径走，直到路径中断，即可找到答案。
3. 懒标记处理加法：用 tag 记录待加的值，通过精巧的 pushdown 逻辑（交换子节点处理 +1，下放 tag/2 处理 +2m）来模拟二进制加法。
4. 移动子树+懒标记进位：将复杂的操作3分解为“改变低位路径”和“高位进位打标记”两步，使得问题得以解决。