P7402 [COCI 2020/2021 #5] Sjeckanje 解题报告
P7402 [COCI 2020/2021 #5] Sjeckanje 解题报告
〇、写在前面
这篇解题报告旨在用最直观的方式，帮助你理解这道题从思索到解决的全过程。我们将从问题的核心难点出发，一步步将它转化为一个我们熟悉且可以解决的模型。
一、题目想让我们做什么？
首先，我们快速回顾一下题目要求：
- 有一个整数数组
a。 - 要对它进行
q次修改，每次都是给一个区间[l, r]里的所有数加上x。 - 每次修改后，都要回答一个问题：把当前的数组
a切分成若干个连续的小段，每一段的价值是（这段的最大值 - 这段的最小值），我们希望所有小段的价值之和最大。求这个最大值。
举个例子： 数组是 a = [4, 3, 3, 4]。
一种切分方法是 [4, 3], [3, 4]。
- 第一段
[4, 3]的价值是max(4, 3) - min(4, 3) = 4 - 3 = 1。 - 第二段
[3, 4]的价值是max(3, 4) - min(3, 4) = 4 - 3 = 1。 - 总价值是
1 + 1 = 2。
我们需要找到一种切分方法，让这个总价值最大。
二、第一步：简化问题——引入“差分”
题面中的“区间加法”是一个非常经典的信号。处理这类问题，一个强大的工具是差分数组。
我们定义一个差分数组 d，其中 d[i] = a[i] - a[i-1]（我们让 d[1] = a[1]，不过实际上 d[2] 到 d[n] 才是我们关心的）。
为什么要用差分？
因为对原数组 a 的区间 [l, r] 加上 x，在差分数组 d 上只会影响两个点：
d[l]会增加x(因为a[l]增加了x，而a[l-1]不变)。d[r+1]会减少x(因为a[r]增加了x，而a[r+1]不变，所以a[r+1]-a[r]减少了x)。
这样，复杂的“区间修改”就变成了简单的“单点修改”，问题处理起来就方便多了。
三、第二步：找到价值的来源——差分与价值的关系
现在，我们的操作简化了，但目标（最大化所有分段的价值之和）和差分数组有什么关系呢？
我们来看一段单调的区间，比如 [2, 5, 8, 10]。
它的价值是 10 - 2 = 8。
我们看看它的差分值（只看相邻的）：5-2=3, 8-5=3, 10-8=2。这些差分值都是正数。
它们的和是 3 + 3 + 2 = 8。
这和区间的价值相等！
再看一个单调递减的区间 [10, 5, 2, 1]。
它的价值是 10 - 1 = 9。
它的差分值是：5-10=-5, 2-5=-3, 1-2=-1。这些都是负数。
它们绝对值的和是 |-5| + |-3| + |-1| = 5 + 3 + 1 = 9。
这也和区间的价值相等！
核心发现：
对于一个单调的区间 [l, r]，它的价值 max - min 就等于区间内所有相邻元素之差的绝对值之和，也就是 sum(|d[i]|) (i 从 l+1 到 r)。
那如果区间不单调呢？比如 [2, 8, 5]。
- 它的价值是
8 - 2 = 6。 - 差分是
d_1 = 8-2 = 6，d_2 = 5-8 = -3。 |d_1| + |d_2| = 6 + 3 = 9。6 < 9。
如果我们把它切分成单调的两段[2, 8]和[5]，总价值是(8-2) + (5-5) = 6。
如果我们把它切分成[2]和[8, 5], 总价值是(2-2) + (8-5) = 3。
这启发我们：为了让总价值最大，我们应该尽可能地把数组切分成一个个单调的小段。因为在单调小段内，价值可以完全由差分数组的绝对值累加得到。如果一个段不单调，它的价值会小于其内部差分绝对值的和，造成了“浪费”。
结论： 问题的目标，可以转化为最大化我们选择的 |d[i]| 之和。我们应该在差分值符号变化的地方（比如从正数变为负数）进行切分，这样每个小段内部的差分值符号都相同（或为0），保证了每个小段都是单调的。
所以，最终的总价值，似乎就是把所有差分值 d[i] (从 i=2 到 n) 的绝对值加起来？
等等，这也不完全对。比如 [2,0,2,1]，差分是 [-2, 2, -1]。|-2|+|2|+|-1| = 5。但最优切分是 [2,0,2], [1]，价值是 (2-0) + (1-1) = 2。
问题出在哪里？当我们因为 d[i] 和 d[i+1] 符号不同而被迫切分时，我们损失了什么？
这个“损失”发生在 a[i] 这个点上。比如 a[i-1], a[i], a[i+1]，如果 d[i]>0 而 d[i+1]<0，说明 a[i] 是一个局部最高点。我们无法同时“上坡”又“下坡”。这意味着 d[i] 和 d[i+1] 不能被算在同一个单调段的价值里。我们必须在它们之间做出选择。
这引出了我们的最终模型：一个在差分数组上的动态规划。
四、第三步：最终兵器——线段树动态规划
我们面对的是：
- 对差分数组
d的单点修改。 - 每次修改后，查询一个全局的最优解。
“单点修改，区间（全局也是一种区间）查询” -> 线段树！
线段树的每个节点，要维护其代表的差分区间 d[L...R] 的信息。我们需要什么信息，才能从子节点合并出父节点的信息呢？
这就是动态规划（DP）的部分了。对于一个区间 d[L...R]，它的最优解可能受到区间外的影响。具体来说，d[L] 是否需要和左边的 d[L-1] 连接成一个单调段？d[R] 是否需要和右边的 d[R+1] 连接？
这提示我们，每个线段树节点 p 需要存储 4 个值：
sgt[p][左端点状态][右端点状态]
- 左/右端点状态：
0表示不与外部连接（即此处为切分点），1表示需要与外部连接。 - 值：在该状态下，这个区间能产生的最大价值。
如何合并（Updata 函数）？
假设我们要合并左孩子 lc（代表 d[L...mid]）和右孩子 rc（代表 d[mid+1...R]）来得到父节点 p 的信息。关键点在于 d[mid] 和 d[mid+1] 的关系。
-
和谐情况：
d[mid] * d[mid+1] >= 0
它们的符号相同（或有0，0和任何符号都“和谐”）。这意味着从a[mid-1]到a[mid]再到a[mid+1]的趋势是连贯的（一直是上坡或一直是下坡）。
在这种情况下，把它们连接起来一定比不连接更优。因为连接起来可以把|d[mid]|和|d[mid+1]|的贡献都算上，而不连接则可能损失其中一个。
所以，父区间的状态[i][j]就直接由子区间必须连接的状态[i][1]和[1][j]相加得到：
sgt[p][i][j] = sgt[lc][i][1] + sgt[rc][1][j] -
冲突情况：
d[mid] * d[mid+1] < 0
它们的符号相反。这意味着在a[mid]这里趋势发生了逆转（比如上坡后接着下坡）。d[mid]和d[mid+1]无法被包含在同一个单调段里。
我们必须在这里“切一刀”。但这一刀有两种切法：- 保留
d[mid]的贡献，放弃d[mid+1]（在连接处）。对应策略是：左半段要连接到mid，右半段从mid+1重新开始。价值为sgt[lc][i][1] + sgt[rc][0][j]。 - 放弃
d[mid]的贡献，保留d[mid+1]。对应策略是：左半段在mid处断开，右半段从mid+1连接过来。价值为sgt[lc][i][0] + sgt[rc][1][j]。
我们取这两种策略中更好的那个：
sgt[p][i][j] = max(sgt[lc][i][1] + sgt[rc][0][j], sgt[lc][i][0] + sgt[rc][1][j])
- 保留
最终答案
每次修改完 d 数组上的两个点后，整个数组 a 的最大划分价值就是线段树根节点 root 的 sgt[root][1][1]。
为什么是 [1][1]？因为对于整个 d[2...n] 区间，它的两端没有“外部”了，我们默认它们是连接的（即不作为切分点），这样能包含 d[2] 和 d[n] 的贡献，肯定比不包含更优。
五、代码实现细节
- 数据范围：
n, q很大，价值可能超过int范围，记得开long long。 - 差分数组：我们关心的是
d[2]到d[n]，所以线段树建在[2, n]这个区间上。 - 建树：可以在一开始
O(N)建树，也可以像题解代码一样，在读入时，每次读入一个a[i]就计算d[i]，然后在线段树上做一次单点修改。后者代码更简洁，虽然理论上慢一点，但对于本题足够了。 - 修改：
l, r, x的修改，变成d[l] += x和d[r+1] -= x。- 注意边界：如果
l=1，d[l]不在我们[2,n]的差分数组里，不用管。如果r=n，d[r+1]超出范围了，也不用管。 - 每次修改
d[k]后，在线段树上更新位置k即可。
至此，我们就把一个复杂的问题，通过差分转化、价值分析、线段树DP，一步步地解决了。希望这份报告能帮助你彻底理解这道题的精髓！
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