P10734 [NOISG 2019 Prelim] Experimental Charges 解题报告

大家好！今天我们来分析一道非常巧妙的题目：P10734 - Experimental Charges。这道题的核心是处理粒子间的关系，看起来有点复杂，但只要掌握一个关键技巧，就能迎刃而解。这个技巧就是带扩展域的并查集，也常被称为“种类并查集”。

1. 题目解读与分析

首先，我们来弄清楚题目到底在说什么。

背景：有 \(N\) 个粒子，每个粒子要么带正电，要么带负电。
规则：同种电荷相互排斥（Repel），不同电荷相互吸引（Attract）。
操作：
- R a b：告诉你粒子 \(a\) 和 \(b\) 相互排斥。这意味着它俩带同种电荷。
- A a b：告诉你粒子 \(a\) 和 \(b\) 相互吸引。这意味着它俩带不同种电荷。
- Q a b：问你根据目前已知的信息，粒子 \(a\) 和 \(b\) 是吸引还是排斥，或者无法确定。

关键点：我们只关心粒子间的相对关系，而不需要知道它们具体带的是什么电荷。例如，如果知道 R 1 2 和 A 2 3，我们就能推断出：1和2电荷相同，2和3电荷不同，所以1和3的电荷也不同。

这种“朋友的朋友是朋友”、“敌人的朋友是敌人”的关系传递，非常适合用并查集来维护。并查集最擅长的就是处理“是否在同一个集合”的问题。

2. 核心思路：从“敌人”到“我敌人的朋友”

标准的并查集只能处理“朋友”关系（即在同一个集合）。如果 R a b，我们可以简单地把 a 和 b 合并（union(a, b)），表示它们是“同类”。

但问题来了，A a b（吸引）代表的是“不同类”的关系，这怎么表示呢？我们不能说“a 不在 b 的集合里”，因为这提供不了任何信息。

这里就是本题最精妙的地方：扩展域思想，我们可以把它通俗地理解为“给每个粒子创建一个反物质伙伴”。

建立“反粒子”：对于每个粒子 i（编号从 1 到 N），我们都想象存在一个它的“反粒子”，记作 i'。这个 i' 代表和 i 电荷完全相反的粒子。
开辟新空间：在程序实现中，我们可以用编号 1 到 N 代表原始粒子，用编号 N+1 到 2N 来代表它们的“反粒子”。也就是说，粒子 i 的“反粒子” i' 就用 i+N 来表示。
重新定义关系：现在我们有了两倍的元素，所有的关系都可以转化为“同类”关系：
- 排斥 R a b：意味着 a 和 b 是同类。同时，它们的“反粒子” a' 和 b' 也是同类。
  - 操作：合并 a 和 b，同时合并 a' 和 b'。
  - 代码实现：union(a, b) 并且 union(a+N, b+N)。
- 吸引 A a b：意味着 a 和 b 是异类。这等价于说，a 和 b 的“反粒子” b' 是同类。同理，b 和 a 的“反粒子” a' 也是同类。
  - 操作：合并 a 和 b'，同时合并 b 和 a'。
  - 代码实现：union(a, b+N) 并且 union(b, a+N)。

通过这种方式，我们巧妙地将“吸引”（不同类）的关系，转化为了在更大范围内的“排斥”（同类）关系。

3. 查询操作的判断

当我们收到一个查询 Q a b 时，如何判断它们的关系呢？

判断是否排斥 (Repel)：如果根据已知信息，能确定 a 和 b 是同类，那么它们就相互排斥。
- 条件：a 和 b 在同一个集合里。
- 代码检查：find(a) == find(b)。
- （注：由于我们的合并操作是成对的，如果 find(a) == find(b) 成立，那么 find(a+N) == find(b+N) 也必然成立，所以检查一个即可。）
判断是否吸引 (Attract)：如果根据已知信息，能确定 a 和 b 是异类，那么它们就相互吸引。
- 条件：a 和 b 的“反粒子” b' 在同一个集合里。
- 代码检查：find(a) == find(b+N)。
- （同样，如果这个条件成立，find(b) == find(a+N) 也必然成立。）
判断是否不确定 (?)：如果上述两种情况都不满足，说明在当前信息下，我们无法推断出 a 和 b 的确切关系。

4. 代码解析

现在我们来看题解提供的C++代码，它完美地实现了上述思路。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e5+10; // 数组大小要开到 2N，这里直接开了 2*10^5+10，足够了
int n,m,f[N]; // f[] 是并查集的父节点数组

// 并查集的 find 函数，带路径压缩优化
int gf(int x){return x==f[x]?f[x]:f[x]=gf(f[x]);}

// 并查集的 union 函数
void link(int x,int y){
	int u=gf(x),v=gf(y); // 找到 x 和 y 的根节点
	if (u != v) f[u]=v; // 如果不在一个集合，就合并
}

int main(){
    // 初始化并查集，每个元素的父亲都是自己
	for(int i=1;i<N;++i)f[i]=i;
	
	cin>>n>>m; // 读入粒子数 N 和操作数 Q
	while(m--){
		char op;int a,b;
		cin>>op>>a>>b;
		
		if(op=='A'){ // 吸引操作
            // a 和 b 的反粒子 b+n 是同类
			link(a,b+n); 
            // a 的反粒子 a+n 和 b 是同类
			link(a+n,b); 
		}
		else if(op=='R'){ // 排斥操作
            // a 和 b 是同类
			link(a,b);
            // a 和 b 的反粒子也是同类
			link(a+n,b+n); 
		}
		else{ // 查询操作
            // 检查 a 和 b 是否是同类
			if(gf(a)==gf(b)||gf(a+n)==gf(b+n)) cout<<'R';
            // 检查 a 和 b 是否是异类 (a 和 b+n 是同类)
			else if(gf(a+n)==gf(b)||gf(a)==gf(b+n)) cout<<'A';
            // 否则，关系不确定
			else cout<<'?';
			cout<<"\n";
		}
	}
	return 0;
}

代码要点：

gf(x) 就是 find(x)，用于查找元素 x 所在集合的根。
link(x,y) 就是 union(x,y)，用于合并 x 和 y 所在的集合。
粒子 i 的“反粒子”在代码中用 i+n 表示。
整个逻辑与我们前面分析的思路完全一致。

5. 总结

本题是一道典型的“扩展域并查集”入门题。它的核心思想在于：当我们需要处理多种（通常是对立的）关系时，可以通过创建“虚拟节点”（如本题的“反粒子”）来扩展并查集的功能，将所有关系都统一为“同类”关系进行处理。

这个技巧非常强大，还能解决类似“A和B是敌人”、“C和D是朋友”这类更复杂的关系推理问题。希望这份报告能帮助你理解并掌握这个技巧！

posted @ 2025-07-16 10:48 surprise_ying 阅读(11) 评论(0) 收藏举报

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