P3341 [ZJOI2014] 消棋子 解题报告

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P3341 [ZJOI2014] 消棋子 解题报告

这是一道有趣的模拟题。题目要求我们解决两个问题：一是计算给定的一系列操作能消掉多少对棋子；二是找出一个能消掉最多棋子的方案。下面我们来分步解析这道题的思路和解法。

核心思路：如何高效地“看”到棋子？

游戏的核心操作是：从一个空格子出发，朝两个方向看，找到最近的棋子。棋盘可能非常大（\(r, c\) 可达 \(10^5\)），我们不可能真的去一个格子一个格子地遍历。

这里，题解采用了一个非常高效的数据结构：std::set (有序集合)。

1. 为每一行、每一列建立索引：

   • 我们创建 row_set[i]，一个集合，用来存放第 i 行所有棋子的信息（主要是列号和颜色）。
   • 同样，我们创建 column_set[j]，存放第 j 列所有棋子的信息（主要是行号和颜色）。

2. set 的优势：

   • 有序性：set 内部的元素是自动排序的。row_set[i] 里的棋子按列号从小到大排序，column_set[j] 里的棋子按行号从小到大排序。
   • 快速查找：利用 set 的有序性，我们可以使用 lower_bound (查找第一个不小于某值的元素) 等方法，非常快速地定位到某个坐标旁边最近的棋子，时间复杂度为 \(O(\log k)\)，其中 \(k\) 是该行/列的棋子数。

举个例子：要在第 x 行第 y 列的空格向右（'R'）看，我们只需要在 row_set[x] 中查找第一个列号大于 y 的棋子即可。同理，向上（'U'）看，就在 column_set[y] 中查找第一个行号小于 x 的棋子。题解中的 get 函数就是封装了这个逻辑。

问题一：模拟给定的操作

这是比较直接的一部分。我们只需要严格按照题目给出的 m 个操作，一步步模拟即可。

模拟步骤：

1. 初始化：使用 reset() 函数，将所有棋子的初始位置分别存入对应的 row_set 和 column_set 中。
2. 遍历操作：对于给出的每一个操作，例如在 (x, y) 点，选择 d1 和 d2 两个方向：
   • 首先要判断 (x, y) 是不是一个空格子。如果 row_set[x] 中存在一个列号为 y 的棋子，说明这里不是空的，操作非法，直接跳过。
   • 调用 get 函数，分别获取 d1 和 d2 方向上遇到的第一个棋子。
   • 判断这两个棋子是否存在，并且颜色是否相同。
   • 如果条件满足，说明这是一次成功的消除。我们将计数器 answer 加一，并调用 erase 函数将这对棋子从 row_set 和 column_set 中彻底删除，因为它们已经被消掉了。
3. 输出结果：遍历完所有 m 个操作后，输出 answer 的值。

问题二：寻找最优解（贪心策略）

要消掉最多的棋子，我们不能漫无目的地尝试。一个很自然的想法是：如果有一对棋子能够被消除，我们就立刻消除它。这是一种贪心策略。但关键在于，消除一对棋子后，棋盘格局发生了变化，可能会创造出新的消除机会。这种连锁反应正是解题的核心。

贪心算法与连锁反应：

1. 潜在的消除点：对于任意一对同色棋子，只有在特定的几个空格点操作，才有可能消除它们。

   • 共行：棋子在 (r, c1) 和 (r, c2)，那么消除点一定在 (r, y) 且 c1 < y < c2。
   • 共列：棋子在 (r1, c) 和 (r2, c)，那么消除点一定在 (x, c) 且 r1 < x < r2。
   • 不同行列：棋子在 (r1, c1) 和 (r2, c2)，它们构成一个矩形。只有在另外两个顶点 (r1, c2) 和 (r2, c1) 才可能同时看到它俩。

2. 处理连锁反应 (Chain Reaction)：题解精妙地使用了一个队列 q 来处理这种连锁反应。

   • 初始扫描：我们首先遍历 1 到 n 每一种颜色，检查它们是否在当前棋盘上能够被消除。题解中的 insert 函数（可以理解为 try_eliminate）就负责这个检查。如果颜色 p 可以被消除，就执行消除操作，并将颜色编号 p 推入队列 q 中。
   • 处理队列：只要队列 q 不为空，就说明刚刚有棋子被消除了，我们需要检查这是否引发了新的机会。
     • 从队列中取出一个颜色 i。
     • 找到颜色 i 的两个棋子被消除前的位置，比如 pos_a 和 pos_b。这两个位置现在是空格了。
     • 从 pos_a 和 pos_b 这两个新的空格子出发，向上下左右四个方向看，看看紧邻的棋子是哪些。
     • 对于每一个看到的邻居棋子（比如颜色为 j），我们再次调用 insert(j)，尝试消除颜色 j。如果成功，j 也会被加入队列，等待下一轮检查。
   • 结束：当队列变空时，意味着棋盘上再也没有可以消除的棋子了，连锁反应结束。此时记录下的所有成功操作，就是我们找到的一套能消除最多棋子的方案。

算法流程总结：

1. 初始化：重置棋盘状态，建立 set 索引。
2. 贪心消除：对每种颜色 i (从 1 到 n)，调用 insert(i) 尝试进行一次消除。如果成功，将 i 加入队列。
3. 循环处理连锁反应：
   • 当队列不为空，取出队首颜色 i。
   • 在其留下的两个空格处，检查所有相邻的棋子 j。
   • 对每个 j，再次调用 insert(j) 尝试消除。
4. 输出结果：输出记录下来的操作总数和具体操作。

通过这种“贪心 + 队列处理连锁反应”的机制，我们能够系统性地发现并执行所有可能的消除操作，从而得到一个消除数量最大化的方案。