B4309 [蓝桥杯青少年组国赛 2024] 第四题 解题报告

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B4309 [蓝桥杯青少年组国赛 2024] 第四题 解题报告

题目核心思想

这道题的目标是：给你一个棋盘，上面有一些棋子。你需要移除最少数量的棋子，使得剩下的棋子分裂成两个或更多个独立的“连通块”。如果无论如何都做不到，就输出 -1。

一个“连通块”指的是一群棋子，你可以从其中任何一个棋子出发，只通过水平或竖直的相邻移动，到达这群棋子里的任何其他棋子。

解题步骤详解

为了解决这个问题，我们可以把复杂的棋盘问题，转换成一个我们更熟悉的图论问题。

第一步：从棋盘到图的转换

想象一下，每个棋子都是图中的一个节点（或顶点）。如果两个棋子在棋盘上是水平或竖直相邻的，我们就在它们对应的两个节点之间连一条边。

这样，整个棋盘上的棋子布局就变成了一张图。题目中的“连通块”就对应着图论中的“连通分量”。

我们的新目标就变成了：移除最少的节点，使得图的连通分量数量大于等于 2。

为了方便在代码中处理，我们给每个网格一个独一无二的编号。例如，一个 \(n\) 行 \(m\) 列的棋盘，我们可以把第 i 行第 j 列的格子编号为 (i-1) * m + j。这样，每个棋子（节点）都有了一个唯一的“名字”。

第二步：分类讨论，找到答案

现在我们有了一张代表棋子关系的图，问题就清晰多了。我们可以根据图的初始状态，分几种情况来讨论：

情况一：天上掉馅饼，一开始就满足要求

• 判断条件：初始的图就已经有 2 个或更多的连通分量。
• 解释：这意味着棋子本来就分成了好几堆，互相不挨着。我们不需要移除任何棋子，就已经满足了“出现两个及以上连通块”的要求。
• 答案：0
• 代码实现：在建图后，我们可以用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计一下连通分量的数量。如果数量大于1，直接输出0。

情况二：巧妇难为无米之炊，根本无法分割

• 判断条件：棋盘上棋子的总数少于 3 个（也就是 0、1 或 2 个）。
• 解释：要想分成两个连通块，每个连通块至少需要 1 个棋子，也就是说，我们最少需要剩下 2 个棋子。如果总共都不到 3 个棋子，就算我们移除了 1 个，剩下的棋子也不够分成两堆。所以，这种情况是无解的。
• 答案：-1
• 代码实现：在读入数据时，顺便统计一下棋子（G）的总数。如果总数小于3，直接输出-1。

情况三：找到关键先生，只移除一个就搞定

• 判断条件：图是连通的（即只有一个连通块），并且图中存在“割点”。
• 解释：什么是“割点”？在一个连通的图中，如果移除了某个节点（以及与它相连的所有边）后，这个图会分裂成两个或更多的连通分量，那么这个被移除的节点就叫做“割点”。它就像一个交通枢纽，一旦被破坏，整个交通网络就瘫痪成几块了。
  所以，如果我们能找到一个割点，那么只需要移除它所代表的那颗棋子，整个棋子群就会被分开。
• 答案：1
• 代码实现：寻找割点有经典的算法，叫做 Tarjan 算法。代码中的 dfs 函数就是一个 Tarjan 算法的实现，它通过计算每个节点的 dfn（访问时间戳）和 low（能追溯到的最早祖先的时间戳）来判断一个点是否是割点，并将结果记录在 iscut 数组里。我们只需要在遍历完图后，检查是否存在 iscut[i] 为 true 的节点即可。

情况四：铁板一块，必须下狠手

• 判断条件：以上情况都不满足。也就是说，图是连通的，棋子数量大于等于3，但图中没有割点。
• 解释：一个没有割点的连通图，意味着它非常“结实”。你拿掉任何一个节点，剩下的部分依然是连通的。这就像一个环路，你去掉任何一个点，剩下的点还是能互相到达。
  在这种情况下，只移除 1 个棋子是无法分割棋子群的。我们必须移除至少 2 个。
  幸运的是，对于这种由格子组成的图，移除 2 个棋子总是能成功。我们可以想象一个最简单的“结实”结构，比如一个 2x2 的棋子方块。我们只要移除其中一个角上的棋子相邻的两个棋子，这个角上的棋子就被孤立出来了。
• 答案：2
• 代码实现：如果程序走到了这一步，说明它排除了情况一、二、三。那么根据逻辑，答案必然是 2。

代码逻辑梳理

提供的 C++ 代码完美地实现了上述思路：

1. main 函数：

   • 用一个 while(T--) 循环处理多组数据。
   • init()：每次循环开始时，清空上次计算用的数组和图，避免数据干扰。
   • 读入和建图：
     • 读取 n 和 m，然后用一个二重循环读入棋盘字符。
     • id[i][j]=((i-1)*m+j) 给每个格子编号。
     • ans2++ 统计棋子总数。
     • 第二个二重循环调用 add 函数，根据相邻关系建立图的邻接表 G。
   • 分析图：
     • ans 变量用来统计初始连通块数量。通过 if(dfn[id[i][j]]==0 ...) 这个判断，确保对每个连通块只进行一次 DFS。
     • dfs(id[i][j],-1)：对每个连通块的起始点调用 Tarjan 算法，寻找割点。
     • cnt 变量统计找到的割点总数。
   • 输出答案：
     • if(ans > 1) 对应 情况一。
     • else if(ans2 < 3) 对应 情况二。
     • else if(cnt > 0) 对应 情况三。
     • else 对应 情况四。

2. dfs 函数：

   • 这是 Tarjan 算法的核心，用于寻找割点。它通过深度优先搜索，巧妙地利用 dfn 和 low 数组判断每个节点是否为割点。如果你对图论算法感兴趣，可以深入学习这个算法，但对于理解本题的解法，只需要知道它的作用是“找出所有的割点”即可。

总结

本题是一个非常典型的将实际问题转化为图论模型的例子。解题的关键在于能够想到用图来表示棋子间的关系，并根据图的性质（连通性、是否存在割点）进行分类讨论，最终得到一个清晰、完整的解题策略。