P12026 [USACO25OPEN] Compatible Pairs S 解题报告

题目核心

我们要解决的问题是，在一大群奶牛中，根据它们的ID号，找出最多能组成多少对可以相互通信的奶牛。

通信规则：

两头牛的ID号相加必须等于 A 或者 B。
可以是不同ID的两头牛，也可以是两头ID相同的牛（只要ID和满足条件）。
每头牛只能加入一个通信对，不能“一心二用”。

思路分析：从配对到连线

直接计算配对方案会非常复杂，因为一头牛可能有多个潜在的配对选择。例如，ID为 d 的奶牛，可能既能和ID为 A-d 的奶牛配对，也能和ID为 B-d 的奶牛配对。我们需要一个全局最优的策略。

这种“关系”和“选择”问题，通常可以转换成图论模型来简化思考。

第一步：建立图模型

我们可以把每一种唯一的ID看作图上的一个节点（Node）。而每种ID有多少头奶牛，就是这个节点的“权重”或者说“储备量”。

如果两种ID的奶牛可以配对，我们就在代表这两种ID的节点之间连一条边（Edge）。

根据规则，边的连接方式如下：

对于一个ID为 d 的节点，如果存在一个ID为 A-d 的节点，就在它们之间连一条边。
同样，如果存在一个ID为 B-d 的节点，也在它们之间连一条边。

特殊情况：自环
如果 2 * d = A 或者 2 * d = B，意味着ID为 d 的奶牛可以和另一头ID也为 d 的奶牛配对。这在图上表现为一个节点自己连向自己的边，我们称之为“自环”。

这样，我们的问题就从“如何配对奶牛”变成了：

在一个带权重的图上，每条边代表一种配对方式。我们要从节点的“储备量”中消耗奶牛来“激活”这些边（形成配对），目标是最大化被“激活”的边的总数。

第二步：发现图的规律

我们构建出的这个图有什么特点呢？

每个节点（ID）最多只有两个潜在的配对伙伴：A-ID 和 B-ID。
因此，图上每个节点的度数（连接的边数）最多为2。

一个所有节点度数都不超过2的图，它的结构非常简单：它必然是由若干条独立的链（像一串珠子）和一些孤立的环组成的。

经过进一步分析（题解中提到的数学推导），可以证明，在这个问题中，除了 A=B 时可能出现长度为2的环，以及自环外，不会形成更复杂的环结构。所以，我们面对的图就是一堆链条和带自环的节点。

图示：整个网络分解为几条独立的链，其中一些节点可能有自环。

第三步：确定最优策略——“从两头向中间”

现在问题变成了：如何在一堆链条上最大化配对数？

我们来看一条链，比如 ID₁ - ID₂ - ID₃ - ID₄。

ID₁ 的奶牛只能和 ID₂ 的奶牛配对，它们没有别的选择。
ID₄ 的奶牛也只能和 ID₃ 的奶牛配对。

这启发我们使用一个贪心策略：优先处理链两端的节点。

在链 ID₁ - ID₂ - ... 中，我们先尽最大可能配对 ID₁ 和 ID₂。配对数量是它们各自奶牛数量的最小值，即 min(奶牛数(ID₁), 奶牛数(ID₂))。
配对后，其中一个ID的奶牛会被用完。这条链就相当于“断”了，问题规模缩小。比如 ID₁ 的奶牛用完了，链就变成了 ID₂ - ID₃ - ...，只不过 ID₂ 的奶牛数量减少了。
我们不断重复这个过程，从链的新端点继续向内配对。

这个“从两端向中间”的策略，就像是“剥洋葱”一样，一层一层地解决问题，可以保证得到全局最优解。

第四步：算法实现——拓扑排序

“从两端向中间处理”这个过程，在算法上可以用拓扑排序的思想来实现。拓扑排序的经典应用是处理有依赖关系的任务，而我们这里处理的是链的端点。

识别端点：链的端点，在图上就是度数为1的节点。一个节点如果只有一个邻居，它就是链的末端。
处理队列：
- 我们建立一个队列，首先把所有度数为1的节点（所有链的端点）放进去。
- 然后，不断从队列里取出一个节点 u 进行处理。
配对过程：
- 取出节点 u，找到它的邻居 v。
- 情况A（自环）：如果 v 就是 u 自己，说明这个ID的奶牛可以内部配对。我们能组成 奶牛数(u) / 2 对。
- 情况B（链条）：如果 v 是另一个节点，我们就在它们之间配对。配对数是 min(奶牛数(u), 奶牛数(v))。然后更新它们的奶牛数量。
- 配对后，u 的任务完成了。它的邻居 v 因为失去了一个邻居 u，也可能变成了新的“端点”。所以，我们将 v 加入队列，以便后续处理。

通过这个过程，我们就能模拟“从两端向中间”的贪心策略，把所有链条上的配对都计算出来。最后剩下的，就是那些在链条中间，但配对完后还有剩余的奶牛，如果它们有自环，也可以进行内部配对（我们的算法在处理过程中已经包含了这种情况）。

代码解读

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 使用 long long 防止数据溢出

using namespace std;

// ... 省略常量和结构体定义 ...

unordered_map<int, int> col; // 哈希表，用于通过ID值快速找到节点编号

void add(int u, int v) { // 加边函数
	// ...
}

signed main() {
	int n, A, B; cin >> n >> A >> B;
	// 1. 读入数据并建立ID到节点编号的映射
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		cin >> w[i] >> id[i]; // w[i]是奶牛数，id[i]是ID值
		col[id[i]] = i;     // 记录ID为id[i]的是第i个节点
	}

	// 2. 建图
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		// 寻找A-partner
		if (id[i] <= A && col.count(A - id[i])) { // col.count检查是否存在这个ID
			add(i, col[A - id[i]]);
		}
		if (A == B) continue; // 如果A=B，B-partner和A-partner是同一种，跳过避免重复建边
		// 寻找B-partner
		if (id[i] <= B && col.count(B - id[i])) {
			add(i, col[B - id[i]]);
		}
	}

	// 3. 拓扑排序思想求解
	queue<int> q;
	// 将所有度数为1的节点（链的端点）加入初始队列
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (d[i] == 1) q.push(i);
	}
	
	int ans = 0;
	while (!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();

		// 遍历u的所有邻居（其实对于从队列里出来的u，它只有一个“待处理”的邻居）
		for (int i = hd[u]; i; i = e[i].nx) {
			int v = e[i].to;
			if (v == u) { // 情况A：自环
				ans += w[u] / 2;
				w[u] %= 2; // 剩下0或1头牛
			} else if (w[v] > 0) { // 情况B：链条，且邻居v还有牛
				int res = min(w[v], w[u]); // 计算能配对的数量
				ans += res;
				w[v] -= res; // 更新双方的奶牛数
				w[u] -= res;
				q.push(v); // u处理完了，v成为新的“端点”，加入队列
			}
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

总结

本题是一个巧妙的图论建模问题。解题的关键路径是：

抽象：将ID配对问题转化为图上节点连接问题。
洞察：发现图的结构是简单的链条集合，从而简化问题。
贪心：提出“从两端向中间”的最优配对策略。
实现：运用拓扑排序的思想，高效地执行贪心策略。

通过这四步，一个看似复杂的组合优化问题，就被我们分解成清晰的步骤，并用标准算法解决了。

posted @ 2025-07-12 14:41 surprise_ying 阅读(36) 评论(0) 收藏举报

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