P10873 [COTS 2022] 帽子 Šeširi 解题报告

解题报告：P10873 [COTS 2022] 帽子 Šeširi

1. 问题分析：我们要解决什么？

想象一下，你和N-1个朋友站成一圈，每个人头上都戴了一顶帽子，颜色非红即白。你看得见所有其他人的帽子，但唯独看不见自己的。现在，你们需要事先商量好一个“万能策略”。这个策略的规则是：当你看到某种特定的N-1顶帽子的组合时，你应该猜自己戴的是什么颜色的帽子。

这个“万能策略”必须非常厉害，要保证无论老天爷给你们分配了怎样的帽子组合（总共有 \(2^N\) 种可能性），都必须满足以下两个条件：

1. 在所有戴白色帽子的人中，至少有一半（向下取整）的人猜对了。
2. 在所有戴红色帽子的人中，至少有一半（向下取整）的人猜对了。

我们的任务就是设计出这样一套策略，并按照指定的格式输出。

2. 核心思路：从“猜对一半”到“图论模型”

这个问题的关键在于“至少猜对一半（向下取整）”这个条件。比如有 k 个人戴了同色帽子，要求至少有 ⌊k/2⌋ 人猜对。

• 如果 k 是偶数，比如 k=4，那么要求至少 4/2 = 2 人猜对。这意味着猜对和猜错的人数可以是2对2，3对1，或者4对0。
• 如果 k 是奇数，比如 k=5，那么要求至少 ⌊5/2⌋ = 2 人猜对。这意味着猜对和猜错的人数可以是2对3，3对2，4对1，或者5对0。

你会发现，这个条件等价于说：猜对的人数和猜错的人数最多只相差1。这听起来是不是很像要把一群人“五五开”或者尽量平均地分成两组？

这种“成对”、“一一对应”或者“尽量均分”的性质，很容易让我们联想到图论中的一个经典模型——欧拉路径。

在一个图里，如果我们沿着一条欧拉路径（不重复地走完所有边）遍历，那么对于路径中间的任意一个节点，我们“进入”这个节点的次数必然等于“离开”这个节点的次数。这不就是完美的“五五开”吗？

于是，一个大胆的想法诞生了：我们可以把这个问题转化成一个图论问题，通过寻找欧拉路径来给每个人的猜测策略定向，从而满足题目要求。

3. 构建神奇的图

怎么建图呢？图的节点和边应该代表什么？

一个错误的尝试（但有助于理解）：
我们可以把 \(2^N\) 种帽子组合（我们称之为“状态”）看作是 \(2^N\) 个节点。如果两个状态只有一个人的帽子颜色不同，我们就在这两个节点间连一条边。比如 (红, 红, 白) 和 (红, 蓝, 白) 只有第二个人颜色不同。这条边就代表了第二个人的“决策点”：当他看到一红一白时，他该猜红还是蓝？我们的任务就是给每条边定一个方向，来代表这个人的猜测。

这个模型很直观，但有个问题：约束条件是按颜色分的（白帽子猜对一半，红帽子猜对一半），而这个模型没法区分这一点。

正解：一个更精妙的图

我们需要一个能体现“颜色”的图。我们可以这样做：

1. 节点加倍：我们创建 \(2 \times 2^N\) 个节点。对于每一种帽子状态 S（比如 (红, 白, 白)），我们都创建两个对应的节点：

   • 节点W(S)：代表状态 S 中，那些戴白色帽子的人。
   • 节点R(S)：代表状态 S 中，那些戴红色帽子的人。
   • （在代码实现中，这可以通过给状态编号加上一个大的偏移量来区分，比如 S 对应 节点W(S)，S + 2^N 对应 节点R(S)）。

2. 连接边：边代表一个人的一次猜测。一个人的猜测是在什么情况下发生的？当他看到其他 N-1 人的帽子时。

   • 考虑任意一个人 i，和他看到的任意一种 N-1 顶帽子的组合。在这种情况下，他自己的帽子有两种可能：白色或红色。
   • 令 S_w 是 i 戴白帽子的状态，S_r 是 i 戴红帽子的状态。
   • 在状态 S_w 中，i 是个戴白帽子的人，他的决策与 节点W(S_w) 相关。
   • 在状态 S_r 中，i 是个戴红帽子的人，他的决策与 节点R(S_r) 相关。
   • 由于这两种情况是同一个人 i 在同一个观测下面临的决策，我们将 节点W(S_w) 和 节点R(S_r) 用一条无向边连接起来。

这条边就代表了 i 在看到特定景象时，需要在“猜自己是白”和“猜自己是红”之间二选一。

这个图有什么性质？

• 对于任意一个状态 S，假设有 b 顶白帽，c 顶红帽。
• 节点W(S) 的度数（连接的边数）正好是 b，因为每个戴白帽子的人都会产生一条连接到这个节点的边。
• 节点R(S) 的度数正好是 c，同理。

4. 欧拉路径登场，解决问题！

现在我们有了一个巨大的图。接下来，我们要给所有的边定向。

• 如果边 (节点W(S_w), 节点R(S_r)) 的方向是 W -> R，我们就规定这个人猜红色。
• 如果方向是 R -> W，我们就规定这个人猜白色。

这样一来：

• 一次“猜红”的决策，对 S_r 状态来说是猜对了，对 S_w 状态来说是猜错了。从图上看，就是 节点R(S_r) 得到了一条入边，节点W(S_w) 得到了一条出边。
• 一次“猜白”的决策，正好相反。节点W(S_w) 得到一条入边，节点R(S_r) 得到一条出边。

结论：一个节点的“入度”就代表了在这个状态下，对应颜色的人群中猜对的人数！

我们的目标是：

• 节点W(S) 的入度 \(\ge \lfloor b/2 \rfloor\)
• 节点R(S) 的入度 \(\ge \lfloor c/2 \rfloor\)

如何实现？利用欧拉路径的性质！
一个图（或其连通分量）如果所有节点度数都是偶数，就存在欧拉回路。在遍历回路时，任何一个节点的“进入次数”和“离开次数”都相等。也就是说 入度 = 出度。

• 对于 节点W(S)，它的总度数是 b。如果 b 是偶数，那么 入度 = 出度 = b/2。满足 入度 >= ⌊b/2⌋。
• 如果有些节点度数是奇数呢？我们可以引入一个“虚拟超级节点”，把所有度数为奇数的节点都和这个虚拟节点连一条边。这样，在新的大图中，所有节点的度数都变成偶数了！
• 当我们在这个新图上跑欧拉回路时，对于一个原来度数为奇数 b 的节点 W(S)，它在新图中的度数是 b+1。跑完欧拉回路后，它在新图中的 入度' = 出度' = (b+1)/2。去掉那条连接虚拟节点的边，它在原图中的入度和出度就会是 (b+1)/2 和 (b-1)/2 的某种组合。无论是哪种，其入度都必然 \(\ge (b-1)/2 = \lfloor b/2 \rfloor\)。

完美！问题解决了。

5. 算法实现步骤

1. 建图：

   • 遍历 \(0\) 到 \(2^N-1\) 的所有状态 S。
   • 遍历 \(0\) 到 \(N-1\) 的所有人 i。
   • 如果 i 在状态 S 中戴的是白帽（比如 S 的第 i 位是0），那么找到 i 戴红帽对应的状态 S' (S 的第 i 位变为1）。
   • 在代表 节点W(S) 的 S 和代表 节点R(S') 的 S' + 2^N 之间连一条无向边。

2. 处理奇度数点：

   • 遍历所有 \(2 \times 2^N\) 个节点。
   • 如果一个节点的度数是奇数，就把它和一个新建的虚拟节点（例如 2^(N+1)）相连。

3. 寻找欧拉路径并定向：

   • 从任意一个节点开始进行深度优先搜索（DFS）。为了确保每条边只走一次（这是欧拉路径的核心），我们可以用一个 vis 数组标记走过的边，或者像题解代码一样，用一个指针 fst[x] 记录节点 x 的边表已经遍历到哪里了。
   • DFS的路径就构成了欧拉路径（或回路）。当我们从节点 u 走向节点 v 时，就相当于把这条边定向为 u -> v。
   • 根据边的方向，我们就能确定对应的猜测是“红”还是“白”，并记录下来。

4. 输出答案：

   • 将记录下的所有猜测结果，按照题目要求的格式（第 i 行是第 i 个人的策略字符串）整理并输出。

总结

这道题的解法极具巧思，它将一个看似与图论无关的逻辑推理问题，通过精妙的建模，转化为了一个经典的图论算法问题——寻找欧拉路径。

核心步骤可以概括为：

• 识别约束：“猜对至少一半” \(\approx\) “入度/出度尽量均分”。
• 巧妙建模：用“状态-颜色”节点对 (S, W) 和 (S, R) 来分别承载不同颜色人群的约束，用边连接不同状态下的同一次决策。
• 算法应用：利用欧拉路径/回路算法天然就能满足“入度/出度均分”的性质，来对图进行定向，从而构造出满足条件的全局策略。

通过这套流程，我们就能找到一个在所有 \(2^N\) 种情况下都满足条件的“万能帽子猜测策略”。