P6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路 解题报告
P6628 [省选联考 2020 B 卷] 丁香之路 解题报告
题目核心思想解读
首先，我们来拆解一下这个题目。我们需要做什么？
- 起点和终点：从一个固定的起点
s出发，要到达一个目标终点t（这个t会从 1 变到n，我们需要对每个t都计算一次答案）。 - 必经之路：旅途中，必须把
m条“丁香花”道路全部走过至少一遍。 - 图的结构：我们可以在一张 \(n\) 个点的“完全图”上行走，任意两点 \(i, j\) 之间都有一条边，走过去的时间（也就是边权）是 \(|i-j|\)。
- 目标：找到一条满足上述条件的最短路径，计算总花费时间。
这个“必须经过所有指定边”的要求，是解决本题的关键。这让我们联想到一个经典的图论问题：中国邮递员问题 (Chinese Postman Problem)。它的核心思想，和欧拉路径息息相关。
什么是欧拉路径？
简单来说，欧拉路径就是一条能“一笔画”走完图中所有边的路径。要满足什么条件才能“一笔画”呢？
- 欧拉回路（起点和终点是同一个点）：图中所有点的度数（连接这个点的边的数量）都必须是偶数，并且图是连通的。
- 欧拉路径（起点和终点是不同的点）：图中只有起点和终点的度数是奇数，其他所有点的度数都是偶数，并且图是连通的。
如何将题目转化为欧拉路径问题？
我们的目标是走完 m 条丁香路，并付出最小的额外代价。总花费可以分解为两部分：
总花费 = (必须走的 m 条丁香路的总长度) + (为了满足要求而额外走的路的总长度)
其中，m 条丁香路的总长度是固定的，我们无法改变。我们能优化的，只有“额外走的路”。怎么走才能让额外代价最小呢？答案是：让我们最终走过的所有边的集合，恰好构成一个从 s 到 t 的欧拉路径。
这样一来，我们就不需要重复走任何一条丁香路，也能把它们都串起来。
所以，我们的任务就变成了：在原图（有 n 个点，边权为 \(|i-j|\)）中，添加一些代价最小的边，使得：
- 包含所有
m条丁香路的图，变成一个连通图。 - 在这个新图中，起点
s和终点t的度数是奇数，其他所有点的度数都是偶数。
解题步骤详解
我们来一步步解决这个问题。对于每一个终点 t（题目要求我们从 1 到 n 都计算一遍），我们都需要执行以下流程：
第 0 步：计算基础代价
首先，不管怎么走，m 条丁香路是必走的。我们先把它们的总长度算出来，记为 base_cost。
base_cost = sum(|u-v|)，对于所有给定的 m 条丁香路 (u,v)。
// 对应代码
ll sum = 0;
for(int i=1; i<=m; i++) {
// ...读入 u, v
sum += abs(u-v);
}
第 1 步：分析度数（奇偶性问题）
欧拉路径对点的度数有严格要求。我们先统计一下只考虑 m 条丁香路时，每个点的度数。然后，因为我们要从 s 走到 t，这相当于也引入了一条从 s 到 t 的路径，所以 s 和 t 的度数也要加 1。
现在，我们有了一份包含丁香路和 s->t 路径的度数表。表里可能会有很多度数为奇数的点。我们的目标是只保留 s 和 t 的奇数度，把其他所有奇数度的点都变成偶数度。怎么做呢？很简单，将奇数度的点两两配对，在它们之间连边。每连一条边，两个端点的度数都加 1，奇数就变成了偶数。
为了让额外代价最小，我们应该怎么配对呢？
有一个贪心结论：将所有奇数度的点按编号从小到大排序，然后依次将第1个和第2个配对，第3个和第4个配对，...，这样总代价最小。
例如，奇数点是 1, 4, 5, 8。最优配对是 (1,4) 和 (5,8)，代价是 |1-4|+|5-8|=3+3=6。
这个过程在代码中非常巧妙地实现了：
// 对应代码
ll ans = base_cost;
int pre = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if (du[j] & 1) { // 如果j的度数是奇数
if (pre) { // 如果前面已经有一个未配对的奇数点pre
ans += j - pre; // 配对，增加代价
pre = 0; // 完成配对
} else {
pre = j; // 记录j，等待下一个奇数点
}
}
}
j-pre 就等于 |j-pre|，因为循环中 j 总是大于 pre。这部分代价我们称为 pairing_cost。
第 2 步：保证图连通（连通性问题）
解决了度数问题后，还有一个要求：图必须是连通的。
最初的 m 条丁香路可能构成好几个独立的连通块（比如 (1,2) 和 (4,5) 就是两个块）。在第 1 步中，我们为了配对奇数点，又增加了一些边，这些边也可能会把一些连通块连接起来。
在完成度数配对后，我们检查一下图现在有几个连通块。如果多于一个，我们就必须在这些连通块之间“搭桥”，把它们全连起来。用什么方法搭桥代价最小呢？最小生成树 (MST)！
我们可以把每个连通块看作一个“超级点”，然后在这些超级点之间寻找最短的边来构建一棵最小生成树。
但是这里有个陷阱！我们构建的路径是一条线，不能凭空跳跃。如果我们从A连通块通过一座“桥”到了B连通块，走完B里面的路之后，我们还得原路返回A（或者去往C），才能继续我们的旅程。所以，每一座“桥”（MST中的每一条边）都必须被往返走两次。
因此，连接所有连通块的最小代价是：2 * (连接这些连通块的MST的总权值)。
这个过程在代码中是这样实现的：
- 初始连通块：用并查集（DSU）处理
m条边，得到初始的连通块。 - 更新连通性：在第1步配对奇数点时，增加的边
(pre, j)也连接了对应的连通块。 - 建MST：
- 找出所有可能用来“搭桥”的边。一个简单的策略是：考虑所有相邻点
(i, i+1)，如果它们属于不同连通块，就是一座潜在的桥。代码中用了更优化的方法，只考虑了有边的点之间的连接。 - 将这些潜在的桥边按权值排序。
- 用 Kruskal 算法（基于并查集）找出 MST。
- 将 MST 的总权值乘以 2，加到最终答案里。
- 找出所有可能用来“搭桥”的边。一个简单的策略是：考虑所有相邻点
// 对应代码（Kruskal部分）
vector<edg> g; // 存储潜在的桥
// ... 生成g ...
sort(g.begin(), g.end()); // 按权值排序
for (auto edge : g) {
if (find(edge.u) != find(edge.v)) { // 如果连接了两个不同的块
fa[find(edge.u)] = find(edge.v);
ans += edge.w * 2; // 代价是边权的两倍
}
}
总结
对于每个终点 t，总的最小花费时间 ans 的计算公式如下：
ans(t) = base_cost + pairing_cost(t) + bridging_cost(t)
base_cost：m条丁香路的总长度，固定不变。pairing_cost(t)：为了修正奇数度点（包括s和t）而增加的边的总长度。bridging_cost(t)：为了连通所有部分，搭桥产生的代价，等于2 * MST权值。
我们对 t = 1, 2, ..., n 分别重复上述计算，就能得到所有答案。
这份解题报告希望能帮助你理解这个问题的思路和巧妙的解法。它完美地融合了欧拉路径、贪心和最小生成树等多个经典算法。
浙公网安备 33010602011771号