P12043 [USTCPC 2025] 图上交互题4 / Constructive Shortest Path 解题报告

前言

你好！这份报告旨在帮助你理解这道关于最短路问题的构造题。这道题看起来有点绕，它不是让我们求最短路，而是给了我们一些最短路的信息，让我们反过来构造出满足条件的边权。我们将一步步剖析题目，理清思路，并最终说明为什么提供的代码是正确的。

题目分析：我们到底要做什么？

首先，我们用大白话翻译一下题目：

输入：
- 一个图，有 n 个点和 m 条边。
- 对于每一条边 (u, v)，题目直接给出了一个值，记为 f(u, v)。这个值代表了最终图中从 u 到 v 的 最短路径长度。
任务：
- 我们要为图中的每一条边 (u, v) 设置一个我们自己决定的、非负的真实边权，记为 a。
- 我们设置的这套边权 a 必须是“合法的”。所谓“合法”，就是指在这套边权 a 构成的图中，对于任意一条在输入中给出的边 (u_i, v_i)，其两点间的最短路径长度，必须恰好等于题目给定的那个 f(u_i, v_i)。
输出：
- 如果能找到这样一套合法的边权 a，就输出 Yes，并给出你构造的一组 a。
- 如果找不到，就输出 No。

核心矛盾： 边 (u, v) 的真实权重 a，和它两端的点的最短路径 f(u, v)，是什么关系？

从 u 到 v，至少有一条路径，就是直接走 (u,v) 这条边，代价是 a。
但也可能存在另一条更短的路，比如 u -> k -> v。
最短路径 f(u, v) 是所有从 u 到 v 的路径中代价最小的那一条。
因此，必然有 f(u, v) <= a。直接走这条边的代价，一定不会比最短路还短。

核心思路：如何构造边权 `a`？

既然题目要我们构造一组解，我们就应该从最简单、最直观的想法入手。

我们已经知道，对于一条边 (u, v)，必须满足 a >= f(u, v)。那么，最简单的构造方法是什么呢？

大胆猜测：直接令边权 a 就等于题目给定的最短路 f(u, v)。

即，对于输入的每一条边 (u_i, v_i) 和对应的 f(u_i, v_i)，我们就尝试将这条边的真实边权 a_i 设置为 f(u_i, v_i)。

现在，我们有了一套完整的边权了。但这套边权是否“合法”呢？我们需要验证。

如何验证？

假设我们已经采纳了上述构造方法（a_i = f(u_i, v_i)）。现在，我们有了一个边权确定的图。对于这个图，我们去计算任意两点之间的最短路径。

对于任意一条原始输入边 (u_i, v_i)，我们来检查：

在我们构造的图中，从 u_i 到 v_i 的新算出来的最短路径长度是多少？我们称之为 dist(u_i, v_i)。
这个 dist(u_i, v_i) 是否等于题目最初给定的 f(u_i, v_i)？

dist(u_i, v_i) 会不会大于 f(u_i, v_i)？
- 不会。因为我们构造时，已经把边 (u_i, v_i) 的权重 a_i 设置成了 f(u_i, v_i)。所以从 u_i 到 v_i 至少有一条路径（就是直连的这条边）的长度是 f(u_i, v_i)。最短路径 dist(u_i, v_i) 只会比它更小或等于它。
dist(u_i, v_i) 会不会小于 f(u_i, v_i)？
- 这完全有可能！ 比如，题目要求 f(A, C) = 10，我们便设置边 (A, C) 的权重为 10。但如果图中还存在一个B点，且 f(A, B) = 3，f(B, C) = 4。我们同样设置边 (A, B) 权重为 3，边 (B, C) 权重为 4。那么在我们的构造下，从 A 到 C 有一条路 A -> B -> C，总长度是 3 + 4 = 7。这个长度 7 就比我们期望的 f(A, C) = 10 要小了。
- 这就产生了一个矛盾！题目要求 A 到 C 的最短路是 10，但我们的构造方案却找到了一条长度为 7 的路。这意味着我们最初的构造方案是失败的，并且 不存在任何合法的构造方案。因为无论你怎么调高边 (A, C) 的权重 a，那条 A -> B -> C 的路径长度 7 依然存在，最短路永远不可能变回 10。

结论：
我们的构造方法（令 a_i = f(u_i, v_i)）是可行的，当且仅当，对于所有输入的边 (u_i, v_i)，在我们构造出的图中，计算出的实际最短路 dist(u_i, v_i) 恰好等于 f(u_i, v_i)。如果出现 dist(u_i, v_i) < f(u_i, v_i) 的情况，则无解。

解题步骤：算法实现

现在，思路已经清晰，我们可以把它转化为一个算法：

初始化：
- 我们需要计算所有点对之间的最短路，来验证我们的构造。由于点数 n <= 500，这是一个经典的多源最短路问题，使用 Floyd-Warshall 算法非常合适。
- 创建一个 n x n 的距离矩阵 dij。dij[x][y] 用来存储从 x 到 y 的最短路径长度。
- 将 dij 中所有值初始化为一个非常大的数（代表无穷大），dij[i][i] 初始化为 0（自己到自己的距离是0）。
构建初始图：
- 读取 m 条边。对于每条边 (u, v) 和给定的 f(u, v)：
- 我们暂定这条边的权重就是 f(u, v)。所以在我们的 dij 矩阵中，dij[u][v] 和 dij[v][u] 的初始值就应该是 f(u, v)。
- 注意： 可能有重边（比如输入了两条 (1,2) 的边），我们应该取其中 f 值较小的那一个作为初始边权，因为那条边提供了更短的直连路径。代码中的 dij[u][v] = min(dij[u][v], w) 正是处理了这一点。
计算所有点对的最短路：
- 在 dij 矩阵上运行标准的 Floyd-Warshall 算法。
- 三重循环 for k, for x, for y，更新 dij[x][y] = min(dij[x][y], dij[x][k] + dij[k][y])。
- 执行完毕后，dij[x][y] 就存储了在我们构造的图中，从 x 到 y 的真正最短路径长度。
验证并输出：
- 再次遍历输入的 m 条边。对于第 i 条边 (u_i, v_i) 和给定的 f(u_i, v_i)：
- 检查我们算出来的最短路 dij[u_i][v_i] 是否小于 f(u_i, v_i)。
- 如果小于，说明出现了我们之前分析的矛盾情况，不存在任何解。直接输出 No 并结束程序。
- 如果所有 m 条边都检查完毕，没有发现任何矛盾，说明我们的构造是成功的！
- 输出 Yes。
- 然后输出我们构造的边权。我们构造的边权就是每条边对应的 f 值，所以直接将输入的 f 值依次输出即可。

代码讲解

我们对照着解题步骤来看你的 AC 代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 使用 long long 防止整数溢出
using namespace std;
const int N = 505 , M = 1e5 + 5;
int dij[N][N];
struct stu // 用结构体存储原始输入，方便最后验证
{
	int x , y , val; // val 就是题目给的 f(x, y)
}s[M];

signed main()
{
	// ... (一些输入输出优化)
	int n , m;
	cin >> n >> m;
    
    // 步骤1：初始化
	memset(dij , 0x3f , sizeof dij); // 0x3f3f3f3f 是一个常用的“无穷大”值
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		dij[i][i] = 0;
	}

    // 步骤2：构建初始图
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		cin >> s[i].x >> s[i].y >> s[i].val; // 读取并存储
		int u = s[i].x , v = s[i].y , w = s[i].val;
		// 设置初始边权，处理了重边情况
		dij[u][v] = dij[v][u] = min(dij[u][v] , w); 
	}

    // 步骤3：运行 Floyd-Warshall 算法
	for (int k = 1; k <= n; k++)
	{
		for (int x = 1; x <= n; x++)
		{
			for (int y = 1; y <= n; y++)
			{
				dij[x][y] = min(dij[x][y] , dij[x][k] + dij[k][y]);
			}
		}
	}

    // 步骤4：验证
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
        // 检查我们算出的最短路(dij)是否比题目要求(s[i].val)的更短
		if (dij[s[i].x][s[i].y] < s[i].val)
		{
			cout << "No"; // 如果是，则无解
			return 0;
		}
	}

    // 步骤4：输出结果
	cout << "Yes" << endl; // 所有检查通过，有解
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
        // 输出我们构造的边权，即每条边对应的 f(u,v)
		cout << s[i].val << " ";
	}
	return 0;
}

关于样例1的输出 0 1 114514 的说明：
你可能会困惑，为什么代码输出的是 0 1 1，而样例输出是 0 1 114514？

这是因为合法的解不唯一。对于第三条边 (3, 1)，题目要求 f(3, 1) = 1。

我们的代码构造出的边权 a_3 = 1。此时，路径 3 -> 2 -> 1 的长度是 f(3,2) + f(2,1) = 1 + 0 = 1。最短路确实是 1，满足条件。
样例给出的边权 a_3 = 114514。此时，路径 3 -> 2 -> 1 长度仍是 1，而直连边 (3,1) 长度是 114514。最短路还是 1，也满足条件。
只要 a_3 >= 1，任何 a_3 的值都是可以的。题目只要求输出任意一组解，所以你的代码输出 0 1 1 是完全正确的。

总结

这道题的精髓在于从一个看似复杂的要求中，找到一个最简单、最直接的构造方案（a_i = f(u_i, v_i)），然后围绕这个构造方案进行验证。Floyd-Warshall 算法在这里不是用来求解未知最短路，而是作为一个强大的 验证工具，来检查我们的构造方案是否满足题目给出的所有约束条件。希望这份报告能帮助你彻底弄懂这道题！

posted @ 2025-07-11 19:47 surprise_ying 阅读(20) 评论(0) 收藏举报

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